Виды матриц и для чего они нужны простыми словами

Приложения

Основной вклад в теорию M-матрицы в основном внесли математики и экономисты. M-матрицы используются в математике для установления границ собственных значений и установления критериев сходимости итерационных методов решения больших разреженных систем линейных уравнений . M-матрицы естественным образом возникают при дискретизации дифференциальных операторов , таких как лапласиан , и как таковые хорошо изучены в научных вычислениях. M-матрицы встречаются также при исследовании решений линейной задачи дополнительности . Проблемы линейной дополнительности возникают в линейном и квадратичном программировании , вычислительной механике и в задаче нахождения точки равновесия биматричной игры . Наконец, M-матрицы встречаются при изучении конечных цепей Маркова в области теории вероятностей и исследований операций, таких как теория массового обслуживания . Между тем, экономисты изучали М-матрицы в связи с валовой заменяемостью, стабильностью общего равновесия и анализом затрат-выпуска Леонтьева в экономических системах. Условие положительности всех основных миноров также известно в экономической литературе как условие Хокинса – Саймона. В технике M-матрицы также встречаются в задачах устойчивости по Ляпунову и управления с обратной связью в теории управления и связаны с матрицей Гурвица . В вычислительной биологии М-матрицы используются при изучении динамики популяции .

Определение матрицы и её элемента. Обозначения.

Матрица – это таблица из $m$ строк и $n$ столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы. Например, матрица $\left( \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right)$ содержит 3 строки и 2 столбца; элементами её являются целые числа. Матрица $\left(\begin{array} {cccc} a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end{array} \right)$ содержит 2 строки и 4 столбца.

Разные способы записи матриц: показать\скрыть

Произведение $m\times n$ называют размером матрицы. Например, если матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице размера $5\times 3$. Матрица $\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ имеет размер $3 \times 2$.

Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: $A$, $B$, $C$ и так далее. Например, $B=\left( \begin{array} {ccc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right)$. Нумерация строк идёт сверху вниз; столбцов – слева направо. Например, первая строка матрицы $B$ содержит элементы 5 и 3, а второй столбец содержит элементы 3, -87, 0.

Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы $A$ обозначаются $a_{ij}$. Двойной индекс $ij$ содержит информацию о положении элемента в матрице. Число $i$ – это номер строки, а число $j$ – номер столбца, на пересечении которых находится элемент $a_{ij}$. Например, на пересечении второй строки и пятого столбца матрицы

расположен элемент $a_{25}=59$:

Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца имеем элемент $a_{11}=51$; на пересечении третьей строки и второго столбца – элемент $a_{32}=-15$ и так далее. Замечу, что запись $a_{32}$ читается как «а три два», но не «а тридцать два».

Для сокращённого обозначения матрицы $A$, размер которой равен $m\times n$, используется запись $A_{m\times n}$. Нередко используется и такая запись:

Здесь $(a_{ij})$ указывает на обозначение элементов матрицы $A$, т.е. говорит о том, что элементы матрицы $A$ обозначаются как $a_{ij}$. В развёрнутом виде матрицу $A_{m\times n}=(a_{ij})$ можно записать так:

Введём еще один термин – равные матрицы.

Две матрицы одинакового размера $A_{m\times n}=(a_{ij})$ и $B_{m\times n}=(b_{ij})$ называются равными, если их соответствующие элементы равны, т.е. $a_{ij}=b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.

Пояснение к записи $i=\overline{1,m}$: показать\скрыть

Итак, для равенства матриц требуется выполнение двух условий: совпадение размеров и равенство соответствующих элементов. Например, матрица $A=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ не равна матрице $B=\left(\begin{array}{cc} 8 & -9\\0 & -87 \end{array}\right)$, поскольку матрица $A$ имеет размер $3\times 2$, а размер матрицы $B$ составляет $2\times 2$. Также матрица $A$ не равна матрице $C=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$, поскольку $a_{21}\neq c_{21}$ (т.е. $0\neq 98$). А вот для матрицы $F=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ можно смело записать $A=F$ поскольку и размеры, и соответствующие элементы матриц $A$ и $F$ совпадают.

Пример №1

Определить размер матрицы
$A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\
5 & 9 & -8 \\
-6 & 8 & 23 \\
11 & -12 & -5 \\
4 & 0 & -10 \\
\end{array} \right)$. Указать, чему равны элементы $a_{12}$, $a_{33}$, $a_{43}$.

Решение

Данная матрица содержит 5 строк и 3 столбца, поэтому размер её $5\times 3$. Для этой матрицы можно использовать также обозначение $A_{5\times 3}$.

Элемент $a_{12}$ находится на пересечении первой строки и второго столбца, поэтому $a_{12}=-2$. Элемент $a_{33}$ находится на пересечении третьей строки и третьего столбца, поэтому $a_{33}=23$. Элемент $a_{43}$ находится на пересечении четвертой строки и третьего столбца, поэтому $a_{43}=-5$.

Ответ: $a_{12}=-2$, $a_{33}=23$, $a_{43}=-5$.

Произведение матричных таблиц

Эта задача несколько сложнее предыдущих, но при этом в ней также нет ничего сложного.

Для осуществления умножения двух матриц $A \cdot B$ количество столбцов в $A$ должно совпадать с количеством строчек в $B$.

Математически это можно записать так:

$A_{m \times n}\cdot B_{n \times p} = С_{m \times p}$

То есть видя перемножаемые исходные матрицы можно сразу определить порядки получаемой новой. Например, если необходимо перемножить $A_{3 \times 2}$ и $B_{2 \times 3}$ — полученный результат будет иметь размер $3 \times 3$:

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} &b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} &b_{33} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} • & • & • \\ • & • & • \\ • & • & • \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21}) & (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22}) & (a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23}) \\ (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21}) & (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}) & (a_{11}b_{13} + a_{22}b_{23}) \\ (a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21}) & (a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22}) & (a_{31}b_{13} + a_{32}b_{23}) \\ \end{pmatrix}$

Если число столбцов первого матричного множителя не совпадает с количеством строчек второго матричного множителя, то умножение выполнить невозможно.

Пример 3

Решите пример:

$A \times B = ?$, если $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}$ и $B = \begin{pmatrix} 3 & — 1 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$.

$A \times B = \begin{pmatrix} (1 \cdot 3 + 0 \cdot (-4) + 2 \cdot 1) & (1 \cdot(-1) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2) \\ (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot(-1) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 1) & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\ \end{pmatrix} $

$A \times B= \begin{pmatrix} (3 + 0+ 2) & (-1 + 0 + 2) & (2 + 0 + 4) \\ (-3-12+0) & (1 + 0 + 0) & (-2+6+0) \\ (6-4+3) & (-2 + 0 + 3) & (4 + 2 + 6) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 6 \\ -15 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 12 \\ \end{pmatrix}$.

Правильная расстановка индексов в матрице

Матрица — это просто таблица, заполненная числами. Нео тут ни при чём.

Одна из ключевых характеристик матрицы — это её размерность, т.е. количество строк и столбцов, из которых она состоит. Обычно говорят, что некая матрица $A$ имеет размер $\left$, если в ней имеется $m$ строк и $n$ столбцов. Записывают это так:

\\]

Или вот так:

\

Бывают и другие обозначения — тут всё зависит от предпочтений лектора/ семинариста/ автора учебника. Но в любом случае со всеми этими $\left$ и ${{a}_{ij}}$ возникает одна и та же проблема:

При чтении лекций и учебников ответ будет казаться очевидным. Но когда на экзамене перед вами — только листик с задачей, можно переволноваться и внезапно запутаться.

Поэтому давайте разберёмся с этим вопросом раз и навсегда. Для начала вспомним обычную систему координат из школьного курса математики:

Введение системы координат на плоскости

Помните её? У неё есть начало координат (точка $O=\left( 0;0 \right)$) оси $x$и $y$, а каждая точка на плоскости однозначно определяется по координатам: $A=\left( 1;2 \right)$, $B=\left( 3;1 \right)$ и т.д.

А теперь давайте возьмём эту конструкцию и поставим её рядом с матрицей так, чтобы начало координат находилось в левом верхнем углу. Почему именно там? Да потому что открывая книгу, мы начинаем читать именно с левого верхнего угла страницы — запомнить это легче лёгкого.

Но куда направить оси? Мы направим их так, чтобы вся наша виртуальная «страница» была охвачена этими осями. Правда, для этого придётся повернуть нашу систему координат. Единственно возможный вариант такого расположения:

Наложение системы координат на матрицу

Теперь всякая клетка матрицы имеет однозначные координаты $x$ и $y$. Например запись ${{a}_{24}}$ означает, что мы обращаемся к элементу с координатами $x=2$ и $y=4$. Размеры матрицы тоже однозначно задаются парой чисел:

Определение индексов в матрице

Просто всмотритесь в эту картинку внимательно. Поиграйтесь с координатами (особенно когда будете работать с настоящими матрицами и определителями) — и очень скоро поймёте, что даже в самых сложных теоремах и определениях вы прекрасно понимаете, о чём идёт речь.

Разобрались? Что ж, переходим к первому шагу просветления — геометрическому определению определителя.:)

Транспонирование матричных таблиц

Транспонирование — это смена строк и столбцов в матрице или определителе местами с сохранением их исходного порядка. Определитель траспонированной матричной таблички $A^T$ будет равен определителю исходной матрицы $A$.

Пример 5

Транспонируйте матрицу $A$ и проверьте себя, найдя определитель $A$ и транспонированной матричной таблички.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ — 1 & -2 & -3\\ \end{pmatrix}$

Решение:

Применим метод Саррюса для детерминанта:

$\det A= 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \cdot (-2) – 2 \cdot 4 \cdot (-3) – 1 \cdot 6 \cdot (-2) – 3 \cdot 5 \cdot (-1) = -15 – 12 – 24+ 24 + 12 + 15 = 0$.

Мы получили вырожденную матрицу.

Теперь произведём транспонирование $A$, для этого повалим матрицу на её правый бок:

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 3 & 6 & -3 \\ \end{pmatrix}$

Найдём для $A^T$ определитель, используя то же правило:

$det A^T = 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 6 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) – 1 \cdot (-2) \cdot 6 – (- 1) \cdot 5 \cdot 3 = — 15 -24 — 12+24+12+15 = 0$.

В словаре Энциклопедии

в математике — прямоугольная таблица каких-либо элементов aik (чисел, математических выражений), состоящая из m строк и n столбцов:Если m=n, то матрица называется квадратной. Над матрицей можно производить действия по правилам матричной алгебры. Матрицы используются во многих разделах математики и физики, в частности при исследовании систем m линейных уравнений с n неизвестными.—в металлообработке — инструмент со сквозным отверстием (реже углублением), используемый при штамповке, прессовании и волочении для выдавливания, свертки или протягивания заготовки.—(нем. Matrize, от лат. matrix — матка), в полиграфии -1) металлическая пластинка с углубленным прямым изображением буквы или знака, изготовленная штамповкой пуансоном или гравированием. Служит формой для отливки литер в шрифтолитейном и наборном производствах.2) Лист пластичного материала с углубленным изображением текста и рисунков, полученный прессованием с оригинальной формы высокой печати. Применяют при изготовлении стереотипов; хранится вместо набора (для целей переиздания, децентрализации печатания многотиражных изданий).3) Рельефная копия штампа (контр-штамп), используемая при конгревном тиснении.

Что такое матрицы в математике

Матрица в математике — это абстрактный объект, имеющий вид таблицы чисел или других математических величин. Чаще таблица прямоугольная, но встречаются и другие виды (квадратные, треугольные).

Обычно матрица называется заглавной буквой латинского алфавита: матрица A, матрица B. В таблице есть строки (их количество называется m) и столбцы (их количество называется n). Количество строк и столбцов определяет размер матрицы и может называться порядком. Матрицы такого типа называются матрицами строения m×n, или размера m×n, или порядка m×n.

Элементы матрицы, т.е. числа или остальные величины, называются строчной буквой. Они имеют 2 нижних индекса, необходимых для определения их положения в матрице. Например, элемент a13 располагается на пересечении 2 строки и 3 столбца. Значения элемента а13 читаются по-отдельности, не как целое число: «а один-три».

Откуда они взялись и чем полезны

Первые упоминания матрицы появились в Древнем Китае. Это была квадратная таблица, получившая название магического или волшебного квадрата. Самым древним и известным считается квадрат 3×3, датируемый около 2200 г до н.э. Он был высечен на панцире черепахи. В Китае его называют квадрат Ло Шу, а в Западной Европе — «Печать Сатурна».

Таким же древним является квадрат, найденный в Кхаджурахо, столице средневекового государства Чандела (IX–XIII вв.) в Центральной Индии. Это первый из «дьявольских квадратов». Также он называется пандиагональным.

В древности матрицы были необходимы преимущественно для решения линейных уравнений. Когда матрицы появились в арабских странах, стали разрабатываться принципы работы с ними, в том числе, принцип сложения. В XVIII веке швейцарский математик, «отец линейной алгебры» Габриэль Крамер опубликовал правило Крамера. Это способ решения систем линейных уравнений с помощью матрицы.

Способ Крамера не подходит для решения тех систем линейных уравнений, в которых может быть бесконечное множество решений.

В следующем веке появляется метод немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Этот способ решения алгебраических уравнений не является открытием ученого. Впервые о методе Гаусса написали в китайском трактате «Математика в девяти книгах», а сам он только привел способ в удобную форму.

Для решения уравнений таким способом необходимо записать расширенную матрицу системы.

В отличие от метода Крамера, правило Гаусса можно использовать для решения любых систем линейных уравнений.

Детальная разработка теории матриц активно продолжилась с середины XIX века. Наиболее значимые ученые: Уильям Гамильтон, Артур Кэли, Карл Вейерштрасс, Мари Энмон Камиль Жордан, Фердинанд Георг Фробениус.

Сам термин «матрица» предложил английский математик Джеймс Сильвестр в 1850 г.

В наше время матрицы используются не только для записи и решения систем линейных уравнений. Списки, статистические данные, табеля с информацией — все это в какой-то степени матрица. Их применяют для упрощения подачи и работы с информацией в любой сфере. Например, таблица продаж, где указан год (первый столбец), вид продукции (первая строка), а остальные значения — количество проданных единиц.

Сложение и вычитание

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Данные действия можно совершать тогда, когда матрицы равны между собой, чтобы в конце получилось выражение аналогичной размерности. Сложение и вычитание выполняются по аналогии друг друга.

Пример 1

Задание

Даны две матрицы, найдите их  сумму.

Решение

Элемент первой строки складывается с элементом второй. Абсолютно также совершается вычитание, только вместо плюса, нужно поставить минус.

Пример 2

Задание

Даны две матрицы, найдите их разность.

Решение

Пример 3

Задание

Найдите C=2A +3B, если :

Решение

Ссылки

1. .
2. Бермон, Авраам; Племмонс, Роберт Дж. (1994), Неотрицательные матрицы в математических науках , Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики, стр. 134 161 (Thm. 2.3 и примечание 6.1 к главе 6), ISBN 0-89871-321-8.
3. Фидлер, М; Птак В. (1962), «О матрицах с неположительными недиагональными элементами и положительными главными минорами», Чехословацкий математический журнал , 12 (3): 382–400.
4. Plemmons, RJ (1977), «М-матрица характеризации I — Неособые M-матриц.» Линейная алгебра и ее применения , 18 (2): 175-188, DOI : .
5. Никайдо, Х. (1970). Введение в множества и отображения в современной экономике . Нью-Йорк: Эльзевир. С. 13–19. ISBN 0-444-10038-5.

Обратные матрицы

По аналогии с обычным умножением числа на обратное ему число $(1+\frac1x= 1)$, умножение обратной матрицы $A^{-1}$ на исходную матрицу даёт в результате единичную матрицу $E$.

Самый простой метод решения при поиске обратной матрицы — Жордана-Гаусса. Рядом с матрицей-подопытным кроликом записывается единичная того же размера, а затем исходная с помощью преобразований приводится к единичной, причём все выполняемые действия повторяются и с $E$.

Пример 4

Дана $A=\begin{pmatrix}{cc} 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}$

Получить обратную матрицу.

Решение:

Пишем вместе $A$ и справа от неё соответствующего размера $E$:

$ \begin{array}{cc|cc} 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end{array}$

Получаем нуль в последней строчке на первой позиции:прибавляем к ней верхнюю, умноженную на $-3$:

$ \begin{array}{cc|cc} 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end{array}$

Теперь обнуляем последний элемент первой строчки. Для этого к верхней строчке плюсуем нижнюю:

$ \begin{array}{cc|cc} 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end{array}$

Делим вторую на $-2$:

$ \begin{array}{cc|cc} 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end{array}$

Получили результат:

$A=\begin{pmatrix}{cc} -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix}$

Произведение двух матриц.

Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.

Произведением матрицы $A_{m\times n}=(a_{ij})$ на матрицу $B_{n\times k}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{m\times k}=(c_{ij})$, для которой каждый элемент $c_{ij}$ равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы $A$ на элементы j-го столбца матрицы $B$:

$$c_{ij}=\sum\limits_{p=1}^{n}a_{ip}b_{pj}, \;\; i=\overline{1,m}, j=\overline{1,n}.$$

Пошагово умножение матриц разберем на примере

Однако сразу стоит обратить внимание, что перемножать можно не все матрицы. Если мы хотим умножить матрицу $A$ на матрицу $B$, то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ (такие матрицы часто называют согласованными)

Например, матрицу $A_{5\times 4}$ (матрица содержит 5 строк и 4 столбца), нельзя умножать на матрицу $F_{9\times 8}$ (9 строк и 8 столбцов), так как количество столбцов матрицы $A$ не равно количеству строк матрицы $F$, т.е. $4\neq 9$. А вот умножить матрицу $A_{5\times 4}$ на матрицу $B_{4\times 9}$ можно, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. При этом результатом умножения матриц $A_{5\times 4}$ и $B_{4\times 9}$ будет матрица $C_{5\times 9}$, содержащая 5 строк и 9 столбцов:

Пример №3

Заданы матрицы:
$
A=\left(\begin{array} {cccc}
-1 & 2 & -3 & 0 \\
5 & 4 & -2 & 1 \\
-8 & 11 & -10 & -5
\end{array} \right)$ и

$
B=\left(\begin{array} {cc}
-9 & 3 \\
6 & 20 \\
7 & 0 \\
12 & -4
\end{array} \right)$. Найти матрицу $C=A\cdot B$.

Решение

Для начала сразу определим размер матрицы $C$. Так как матрица $A$ имеет размер $3\times 4$, а матрица $B$ имеет размер $4\times 2$, то размер матрицы $C$ таков: $3\times 2$:

Итак, в результате произведения матриц $A$ и $B$ мы должны получить матрицу $C$, состоящую из трёх строк и двух столбцов:

$
C=\left(\begin{array} {cc}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22} \\
c_{31} & c_{32}
\end{array} \right)$. Если обозначения элементов вызывают вопросы, то можно глянуть предыдущую тему: «Матрицы. Виды матриц. Основные термины», в начале которой поясняется обозначение элементов матрицы. Наша цель: найти значения всех элементов матрицы $C$.

Начнем с элемента $c_{11}$. Чтобы получить элемент $c_{11}$ нужно найти сумму произведений элементов первой строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Чтобы найти сам элемент $c_{11}$ нужно перемножить элементы первой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $B$, т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем:

Продолжим решение и найдем $c_{12}$. Для этого придётся перемножить элементы первой строки матрицы $A$ и второго столбца матрицы $B$:

Аналогично предыдущему, имеем:

Все элементы первой строки матрицы $C$ найдены. Переходим ко второй строке, которую начинает элемент $c_{21}$. Чтобы его найти придётся перемножить элементы второй строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Следующий элемент $c_{22}$ находим, перемножая элементы второй строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

Чтобы найти $c_{31}$ перемножим элементы третьей строки матрицы $A$ на элементы первого столбца матрицы $B$:

И, наконец, для нахождения элемента $c_{32}$ придется перемножить элементы третьей строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

Все элементы матрицы $C$ найдены, осталось лишь записать, что $C=\left(\begin{array} {cc}
0 & 37 \\
-23 & 91 \\
8 & 216
\end{array} \right)$. Или, если уж писать полностью:

Ответ: $C=\left(\begin{array} {cc}
0 & 37 \\
-23 & 91 \\
8 & 216
\end{array} \right)$.

Кстати сказать, зачастую нет резона расписывать подробно нахождение каждого элемента матрицы-результата. Для матриц, размер которых невелик, можно поступать и так:

Стоит также обратить внимание, что умножение матриц некоммутативно. Это означает, что в общем случае $A\cdot B\neq B\cdot A$

Лишь для некоторых типов матриц, которые именуют перестановочными (или коммутирующими), верно равенство $A\cdot B=B\cdot A$. Именно исходя из некоммутативности умножения, требуется указывать как именно мы домножаем выражение на ту или иную матрицу: справа или слева. Например, фраза «домножим обе части равенства $3E-F=Y$ на матрицу $A$ справа» означает, что требуется получить такое равенство: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Какие операции можно производить с матрицами

С матрицами можно проводить несколько операций.

1. Сложение и вычитание. Это действие можно проводить только с теми матрицами, у которых одинаковый размер. Например, матрица размера 3×2. Ответом будет матрица такого же размера. Чтобы получить ответ нужно вычесть или сложить соответствующие элементы двух матриц. Т.е. при сложении элемент a₁₁ складывается с элементом b₁₁.
2. Умножение матрицы на число. Каждый элемент матрицы нужно умножить на число. Получится матрица такого же размера.
3. Умножение матриц. Не все матрицы можно умножить между собой. Обязательное свойство: число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй матрицы. Например, можно умножить матрицу A размером 3×2 и матрицу B размером 2×3. Как осуществляется умножение: чтобы получить элемент a₁₁ новой матрицы, нужно поочередно умножить элементы строки матрицы A на соответствующие элементы столбца матрицы B, а затем суммировать эти произведения.

При умножении матрицы нельзя менять местами.

1. Транспонирование матрицы. Смена мест строк и столбцов матрицы. Первая строка матрицы становится первым столбцом. Дальше по аналогии.

Примеры решения задач на матрицы

Пример решения задачи на умножение.

Дано: \( A=\begin{vmatrix}1&-1\\2&0\\3&0\end{vmatrix},\;B=\begin{vmatrix}1&1\\2&0\end{vmatrix}\)

Найти: \(A*B\)

Решение: 

Назовем искомую матрицу \(C\). Она будет иметь следующий вид:

\(C=\begin{vmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\\c_{31}&c_{32}\end{vmatrix}\)

Найдем значение каждого элемента:

\(с_{11}=a_{11}*b_{11}+a_{12}*b_{21}=1*1+(-1)*2=-1\)\(c_{12}=a_{11}*b_{12}+a_{12}*b_{22}=1*1+(-1)*0=1\)\(c_{21}=a_{21}*b_{11}+a_{22}*b_{21}=2*1+0*2=2\)\(c_{22}=a_{21}*b_{12}+a_{22}*b_{22}=2*1+0*0=2\)\(c_{31}=a_{31}*b_{11}+a_{32}*b_{21}=3*1+0*2=3\)\(c_{32}=a_{31}*b_{12}+a_{32}*b_{22}=3*1+0*0=3\)
Ответ: \(C=\begin{vmatrix}-1&1\\2&2\\3&3\end{vmatrix}\)

Пример решения задачи на умножение матрицы на число 5.

Дано: \(A=\begin{vmatrix}12&-1\\7&0\end{vmatrix}\)

Найти: \(A*5\)

Решение: \(5\ast\begin{vmatrix}12&-1\\7&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}5\ast12&5\ast(-1)\\5\ast7&5\ast0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}60&-5\\35&0\end{vmatrix}\)

Ответ: \(\begin{vmatrix}60&-5\\35&0\end{vmatrix}\)

Операции над матрицами[править]

Пусть \(a_{ij}\) — элементы матрицы \(A\), а \(b_{ij}\) — элементы матрицы \(B\).

Линейные операции:

Умножение матрицы \(A\) на число \(\lambda\) (обозначение: \(\lambda A\)) заключается в построении матрицы \(B\), элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы \(A\) на это число, то есть каждый элемент матрицы \(B\) равен
$$b_{ij} = \lambda a_{ij}$$

Сложение матриц \(A + B\) есть операция нахождения матрицы \(C\), все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц \(A\) и \(B\), то есть каждый элемент матрицы \(C\) равен
$$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$
$$A+B=
\begin{pmatrix}
2 & 0 & -1\\
1 & 3 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0\\
8 & 2 & 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2+3 & 0+1 & -1+0\\
1+8 & 3+2 & 0+3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5 & 1 & -1\\
9 & 5 & 3
\end{pmatrix}
$$

Вычитание матриц \(A — B\) определяется аналогично сложению, это операция нахождения матрицы \(C\), элементы которой
$$c_{ij} = a_{ij} — b_{ij}$$
$$A-B=
\begin{pmatrix}
2 & 0 & -1\\
1 & 3 & 0
\end{pmatrix}
—
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0\\
8 & 2 & 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2-3 & 0-1 & -1-0\\
1-8 & 3-2 & 0-3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 & -1 & -1\\
-7 & 1 & -3
\end{pmatrix}
$$

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица \(\Theta\) такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть
$$A + \Theta = A$$
Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Нелинейные операции:

Умножение матриц (обозначение: \(A B\), реже со знаком умножения \(A\times B\)) — есть операция вычисления матрицы \(C\), элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
$$c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$$
В первом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во втором. Если матрица \(A\) имеет размерность \(m \times n\), \(B\) — \(n \times k\), то размерность их произведения \(A B = C\) есть \(m \times k\). Умножение матриц не коммутативно.
$$F L=
\begin{pmatrix}
a & d \\
b & e \\
c & f \\
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
g & i & k \\
h & j & l \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(a \cdot g + d \cdot h) & (a \cdot i + d \cdot j) & (a \cdot k + d \cdot l)\\
(b \cdot g + e \cdot h) & (b \cdot i + e \cdot j) & (b \cdot k + e \cdot l)\\
(c \cdot g + f \cdot h) & (c \cdot i + f \cdot j) & (c \cdot k + f \cdot l)\\
\end{pmatrix}
$$
$$A B=
\begin{pmatrix}
2 & 3\\
5 & 7
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
-1 & 2\\
-2 & 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \cdot (-1) + 3 \cdot (-2) & 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3\\
5 \cdot (-1) + 7 \cdot (-2) & 5 \cdot 2 + 7 \cdot 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-8 & 13\\
-19 & 31
\end{pmatrix}
$$
$$B A=
\begin{pmatrix}
-1 & 2\\
-2 & 3
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
2 & 3\\
5 & 7
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 & -1 \cdot 3 + 2 \cdot 7\\
-2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 & -2 \cdot 3 + 3 \cdot 7
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
8 & 11\\
11 & 15
\end{pmatrix}
$$

Умножение матриц ассоциативно.
Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Транспонирование матрицы (обозначение: \(A^T\)) — операция, при которой матрица отражается относительно главной диагонали, то есть
$$a^T_{ij} = a_{ji}$$

Если \(A\) — матрица размера \(m \times n\), то \(A^T\) — матрица размера \(n \times m\)

Геометрическое определение

Прежде всего хотел бы отметить, что определитель существует только для квадратных матриц вида $\left$. Определитель — это число, которое cчитается по определённым правилам и является одной из характеристик этой матрицы (есть другие характеристики: ранг, собственные вектора, но об этом в других уроках).

Ну и что это за характеристика? Что он означает? Всё просто:

На первый взгляд это определение может показаться совершенно неадекватным. Но давайте не будем спешить с выводами — глянем на примеры. На самом деле всё элементарно, Ватсон:

Небольшое замечание по поводу системы обозначений. Кому-то наверняка не понравится, что я игнорирую «стрелочки» над векторами. Якобы так можно спутать вектор с точкой или ещё с чем.

Но давайте серьёзно: мы с вами уже взрослые мальчики и девочки, поэтому из контекста прекрасно понимаем, когда речь идёт о векторе, а когда — о точке. Стрелки лишь засоряют повествование, и без того под завязку напичканное математическими формулами.

И ещё. В принципе, ничто не мешает рассмотреть и определитель матрицы 1×1 — такая матрица представляет собой просто одну клетку, а число, записанное в этой клетке, и будет определителем

Но тут есть важное замечание:

И если вы хотите получить объём в классическом смысле этого слова, придётся взять модуль определителя, но сейчас не стоит париться об этом — всё равно через несколько секунд мы научимся считать любой определитель с любыми знаками, размерами и т.д.:)

Виды матриц, какие бывают

В математике существует несколько видов матриц в зависимости от их размера.

1. Матрица–строка. Имеет размер 1×n, т.е. состоит из одной строки и нескольких столбцов.\(\begin{vmatrix}54&2&-7&0&4\end{vmatrix}\)
2. Матрица–столбец. Имеет размер m×1, т.е. состоит из одного столбца и нескольких строк.\(\begin{vmatrix}3\\-6\\64.5\end{vmatrix}\)

Также различают матрицы по значениям их элементов.

1. Нулевая матрица. Все элементы матрицы равны 0.\(\begin{vmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{vmatrix}\)
2. Квадратная матрица. Количество строк и столбцов одинаковое: m=n.\(\begin{vmatrix}4&5&1\\5&0&0\\-2&2&-8\end{vmatrix}\)
3. Диагональная матрица — разновидность квадратной матрицы, у которой все элементы равны 0, за исключением диагональных элементов.\(\begin{vmatrix}3&0&0\\0&-8&0\\0&0&1.5\end{vmatrix}\)
4. Единичная матрица — разновидность диагональной матрицы. На главной диагонали расположены 1, а все остальные элементы равны 0. Обозначается латинской буквой E.\(\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}\)
5. Треугольная матрица. Имеет 2 разновидности: верхняя и нижняя. У верхней треугольной матрицы равны 0 элементы под главной диагональю, а у нижней треугольной матрицы — над главной диагональю.\(A=\begin{vmatrix}4&1.5&-2\\0&1&7\\0&0&4\end{vmatrix}\)

Треугольная матрица всегда квадратная: m=n.

1. Противоположная матрица. Обозначается -A и всегда рассматривается в отношении матрицы A. Ее элементы имеют обратный знак от элементов матрицы A.
2. Кососимметрическая (антисимметричная) матрица. Отличается множителем -1. Т.е. все элементы матрицы A были умножены на -1 и получилась матрица AT, или транспонированная матрица.\(A=\begin{vmatrix}0&5&217\\-5&0&-43\\-217&43&0\end{vmatrix},\;A^T=\begin{vmatrix}0&-5&-217\\5&0&43\\217&-43&0\end{vmatrix}\)

Кососимметрическая матрица всегда квадратная.

1. Симметрическая матрица. Элементы лежат симметрично по отношению к главной диагонали. Матрица всегда квадратная.\(A=\begin{vmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{vmatrix}\)
2. Трапециевидная матрица. Есть ряд условий, при которых матрица становится такого вида. Например, она должна быть квадратной или прямоугольной, при этом количество столбцов обязательно больше числа строк. Также элементы, расположенные над главной диагональю, не равны 0, а элементы под главной диагональю равны 0.\(A=\begin{vmatrix}1&2&3&4&5&6\\0&-1&0&7&-3&2\\0&0&4&1&-1&-2\end{vmatrix}\)