Линейные уравнения. решение, примеры

Какой грунт выбрать для посадки хвойных на участке

Решение сложных линейных уравнений

Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

Пример №1

Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:

Теперь займемся уединением:

Приводим подобные:

Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:

или корней нет.

Пример №2

Выполняем те же действия. Первый шаг:

Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:

Приводим подобные:

Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:

либо корней нет.

Нюансы решения

Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:. \

Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс»

Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое. Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается

И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения

Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

Универсальный метод

Универсальный метод того, как решать линейные уравнения, заключается в сведении сложного уравнения к простому, правила для которого известны. Понятнее будет на примере:

Вроде есть все — и сложение, и вычитание и деление и умножение. Какое правило применять? Непонятно. Давайте упростим это уравнение. Начнем с его левой части: , тогда в левой части будет:

Теперь приведем две дроби и к общему знаменателю:

. Запишем под одним знаменателем:

. Умножим левую и правую части уравнения на 2. По правилам мы можем умножать левую и правую части уравнения (как и делить) на одно и то же число, отличное от нуля, и это не повлияет на его ответ. Тогда, знаменатель в левой части сократится, и мы получим:

А теперь мы просто находим неизвестный множитель:

Делаем проверку:

Вычисляем:

Ответ: .

Метод понятен — постепенными преобразованиями мы привели исходное уравнение к простому, эквивалентному исходному. А затем, просто применили известные правила из начальной школы. Теперь вы знаете, как решать линейные уравнения простые и сложные. Это поможет вам в подготовке к ЕГЭ по математике.

Особенности решения двойных неравенств

Первой из них является его изображение на координатной оси. Использовать этот способ для простых неравенств нет необходимости. А вот в сложных случаях он может быть просто необходимым.

Для изображения неравенства нужно отметить на оси все точки, которые получились во время рассуждений. Это и недопустимые значения, которые обозначаются выколотыми точками, и значения из неравенств, получившиеся после преобразований

Здесь тоже важно правильно нарисовать точки. Если неравенство строгое, то есть , то эти значения выколотые

В нестрогих неравенствах точки нужно закрашивать.

Потом полагается обозначить смысл неравенств. Это можно сделать с помощью штриховки или дуг. Их пересечение укажет ответ.

Вторая особенность связана с его записью. Здесь предлагается два варианта. Первый — это окончательное неравенство. Второй — в виде промежутков. Вот с ним бывает, что возникают трудности. Ответ промежутками всегда выглядит как переменная со знаком принадлежности и скобок с числами. Иногда промежутков получается несколько, тогда между скобками нужно написать символ «и». Эти знаки выглядят так: ∈ и ∩. Скобки промежутков тоже играют свою роль. Круглая ставится тогда, когда точка исключена из ответа, а прямоугольная включает это значение. Знак бесконечности всегда стоит в круглой скобке.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Этот метод позволяет достаточно легко находить решения систем линейных уравнений, в которых более двух уравнений и неизвестных. По сути, этот метод является обобщением метода подстановки. Итак, как можно решить систему линейных уравнений? Рассмотрим на примере системы трёх уравнений с тремя неизвестными.

На первом этапе систему уравнений необходимо привести к трапециевидной форме, которая выглядит следующим образом:

Для этого нужно провести несложные линейные преобразования с коэффициентами расширенной матрицы системы. Расширенная матрица системы отличается от матрицы системы лишь тем, что она содержит ещё и столбец правых частей уравнений, который записывается справа. Преобразования включают в себя сложение или вычитание строк матрицы, а также умножение элементов строки на число.

Применим данный метод к системе

Расширенная матрица A данной системы принимает вид

Проводя преобразования строк, нужно добиться того, чтобы в третьей строке расширенной матрицы на первом и втором местах были нули, а во второй строке — нуль на первом месте (возможно, при этом во второй строке будет ещё нуль и на третьем месте).

Вначале вычтем из второй строки матрицы первую строку, умноженную на два, в результате во второй строке окажется два нуля. Затем вычтем из третьей строки первую строку, умноженную на три, в результате чего в третьей строке окажется только один ноль:

С одной стороны, можно остановиться на данном этапе, поменять вторую и третью строку местами, решить систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

С другой стороны, следуя алгоритму, необходимо вычесть из третьей строки расширенной матрицы вторую строку и получить два нуля в последней строке матрицы:

Это позволит перейти к решению ещё более простой системы линейных уравнений:

Теперь реализуем обратный ход метода Гаусса: из третьего уравнения системы определим z = 3 , из второго — y = 2. Подставляя найденные значения в первое уравнение системы, определим значение x:

Итак, решение системы линейных уравнений Гаусса: x = 1, y = 2, z = 3.

Что такое линейное уравнение?

Определение линейного уравнения дается по виду его записи. Причем в разных учебниках математики и алгебры формулировки определений линейных уравнений имеют некоторые различия, не влияющие на суть вопроса.

Например, в учебнике алгебры для 7 класса Ю. Н. Макарычева и др. линейное уравнение определяется следующим образом:

Определение.

Уравнение вида a·x=b, где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Приведем примеры линейных уравнений, отвечающие озвученному определению. Например, 5·x=10 – это линейное уравнение с одной переменной x, здесь коэффициент a равен 5, а число b есть 10. Другой пример: −2,3·y=0 – это тоже линейное уравнение, но с переменной y, в котором a=−2,3 и b=0. А в линейных уравнениях x=−2 и −x=3,33 числовые коэффициенты a не присутствуют в явном виде и равны 1 и −1 соответственно, при этом в первом уравнении b=−2, а во втором — b=3,33.

А годом ранее в учебнике математики Виленкина Н. Я. линейными уравнениями с одним неизвестным помимо уравнений вида a·x=b считали и уравнения, которые можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также с помощью приведения подобных слагаемых. Согласно этому определению, уравнения вида 5·x=2·x+6, и т.п. тоже линейные.

В свою очередь в учебнике алгебры для 7 классов А. Г. Мордковича дается такое определение:

Определение.

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a·x+b=0, где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

К примеру, линейными уравнениями такого вида являются 2·x−12=0, здесь коэффициент a равен 2, а b – равен −12, и 0,2·y+4,6=0 с коэффициентами a=0,2 и b=4,6. Но в тоже время там приводятся примеры линейных уравнений, имеющие вид не a·x+b=0, а a·x=b, например, 3·x=12.

Давайте, чтобы у нас в дальнейшем не было разночтений, под линейным уравнениями с одной переменной x и коэффициентами a и b будем понимать уравнение вида a·x+b=0. Такой вид линейного уравнения представляется наиболее оправданным, так как линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А все остальные указанные выше уравнения, а также уравнения, которые с помощью равносильных преобразований приводятся к виду a·x+b=0, будем называть уравнениями, сводящимися к линейным уравнениям. При таком подходе уравнение 2·x+6=0 – это линейное уравнение, а 2·x=−6, 4+25·y=6+24·y, 4·(x+5)=12 и т.п. – это уравнения, сводящиеся к линейным.

Линейное неравенство

Линейное неравенство – это неравенство, которое можно привести к виду kx+b≤kx+b\le 0kx+b≤ или к виду kx+b<kx+b\lt 0kx+b<, где k≠k\neq 0k≠.

Решение неравенства kx+b≤kx+b\le 0kx+b≤зависит от знака при kkk:

Если k>k\gt 0k>, то x≤−bkx\le -\frac{b}{k}x≤−kb (знак неравенства сохраняется).
Если k<k\lt 0k<, то x≥−bkx\ge -\frac{b}{k}x≥−kb (знак неравенства меняется при делении обеих частей неравенства на отрицательное число).

1)2x+3≥⇔x≥−32.1) \,\,\,\,\,\,\,2 x+ 3\ge 0 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x\ge -\frac{3}{2}.1)2x+3≥⇔x≥−23.2)−2x+3≥⇔x≤32.2) -2 x+ 3\ge 0 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x\le \frac{3}{2}.2)−2x+3≥⇔x≤23.

Решение уравнения

Иллюстрация графического метода нахождения корней уравнения x = f(x)

Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».

Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.

Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Равносильные уравнения

Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней.

Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому.

Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения.

Третье важное свойство задаётся теоремой: если функции f,g{\displaystyle f,g} заданы над областью целостности, то уравнение

f(x)⋅g(x)={\displaystyle f(x)\cdot g(x)=0}

эквивалентно совокупности уравнений

f(x)=,g(x)={\displaystyle f(x)=0,\qquad g(x)=0}.

Это означает, что все корни первого уравнения являются корнями одного из двух других уравнений, и позволяет находить корни первого уравнения в два приёма, решая каждый раз более простые уравнения.

Основные свойства

С алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:

в любой части уравнения можно раскрыть скобки;
в любой части уравнения можно привести подобные слагаемые;
любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный;
к обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение;
из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение;
обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

Уравнения, которые являются результатом этих операций, являются эквивалентными начальному уравнению. Однако для свойств 4 и 5 существует ограничение: в случае прибавления к обеим частям уравнения одного и того же выражения (или в случае вычитания из обеих частей уравнения одного и того же выражения), содержащего неизвестное и теряющего смысл при неизвестном, принимающем значения корней данного уравнения, получится уравнение, неэквивалентное исходному (начальному). Но если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение (или из обеих частей уравнения вычесть одно и то же выражение), содержащее неизвестное и теряющее смысл лишь при значениях неизвестного, не являющихся корнями данного уравнения, то получится уравнение, эквивалентное начальному.

Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может привести, соответственно, к появлению посторонних корней или к потере корней.

Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней.

Решение уравнений с дробью

Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

Раскрыть скобки.
Уединить переменные.
Привести подобные.
Разделить на коэффициент.

Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

Избавиться от дробей.
Раскрыть скобки.
Уединить переменные.
Привести подобные.
Разделить на коэффициент.

Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

Пример №1

Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре»

Запишем:

Теперь раскроем:

Выполняем уединение переменной:

Выполняем приведение подобных слагаемых:

Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Пример №2

Здесь выполняем все те же действия:

Задача решена.

Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Ключевые моменты

Ключевые выводы следующие:

Знать алгоритм решения линейных уравнений.
Умение раскрывать скобки.
Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!

Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня
Как решать биквадратное уравнение
Умножение и деление десятичных дробей
Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике
Сложные задачи B2 на проценты: вычисление полной стоимости

Примеры решения уравнений

Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

Решаются такие конструкции примерно одинаково:

Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
Затем свести подобные
Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.

Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

Еще одна особенность связана с раскрытием скобок

Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные. А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше

Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

Решение уравнения

Иллюстрация графического метода нахождения корней уравнения x = f(x)

Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».

Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Равносильные уравнения

f(x)⋅g(x)={\displaystyle f(x)\cdot g(x)=0}

эквивалентно совокупности уравнений

f(x)=,g(x)={\displaystyle f(x)=0,\qquad g(x)=0}.

Основные свойства

в любой части уравнения можно раскрыть скобки;
в любой части уравнения можно привести подобные слагаемые;
любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный;
к обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение;
из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение;
обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней.

Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера

Чтобы решить систему линейных уравнений методом Крамера, нужно познакомиться с понятием определителя.

Определение

Определителем называют запись чисел в квадратной таблице, в соответствие которой ставится число по некоторому правилу.

Давайте познакомимся с этим правилом. Пусть даны четыре числа a, b, c, d. Пусть они имеют следующее расположение в квадратной таблице:

Значение определителя в этом случае находится по формуле

Определитель, составленный из коэффициентов при переменных в линейной системе уравнений, называется главным определителем системы. Будем обозначать его Δ. Например, у рассмотренной выше системы уравнений

главный определитель будет иметь вид

Найдём его значение:

Для решения системы линейных уравнений методом Крамера нам понадобятся ещё два определителя, которые называются вспомогательными:

Отметим, что в данные определители уже входят правые части каждого уравнения системы. Так, в определитель Δₓ первым столбцом записываем правые части уравнений (так называемые свободные члены уравнений), второй столбец оставляем таким же, как в главном определителе системы. В определитель Δу вторым столбцом записываем правые части уравнений, а первый столбец оставляем таким же, как в главном определителе системы.

Итак, формулы Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными:

Отметим, что данный метод можно применять лишь в тех случаях, когда Δ ≠ 0.

Убедимся в том, что данные формулы работают, подставив в них ранее найденные значения определителей:

Пара чисел (4;3) действительно является решением данной системы уравнений.

Обобщим алгоритм нахождения решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом Крамера. Пусть дана система линейных уравнений

Нужно:

Вычислить главный определитель системы

Вычислить вспомогательные определители

Применить формулы Крамера

Определение[править]

Линейным уравнением называется уравнение вида

ax+b={\displaystyle ax+b=0} и любое другое уравнение приводимое к такому виду (например, ax+b=cx+d{\displaystyle ax+b=cx+d}). При этом неизвестное не должно находится в знаменателе.

a{\displaystyle a} — коэффициент при неизвестной,
b{\displaystyle b} — свободный член (любое число).

Решить уравнение значит найти такое число (корень уравнения), что при подстановке его вместо переменной x{\displaystyle x}, получается верное равенство.

Примеры линейных уравнений:

2x+1={\displaystyle 2x+1=0}. Корень(решение) этого уравнения x=−12{\displaystyle x=-1/2}

−3x+1=x−7{\displaystyle -3x+1=x-7}. Корень этого уравнения x=2{\displaystyle x=2}

При решении линейных уравнений, в большинстве случаев может понадобиться правило переноса слагаемого.

Способы решения линейного уравнения

Любое уравнение можно решить двумя способами:

Аналитическим, то есть с помощью математических вычислений. Этот способ хорош своей точностью
Графическим, то есть с помощью построения на графике. Этот способ хорош возможностью использования практически в любой ситуации. К нему прибегают, когда найти корень с помощью вычислений невозможно.

Рассмотрим каждый из способов.

Графический способ

Для понимания графического способа нужно вспомнить, что такое функция. Функция это зависимость одной переменной от другой. Выражение, которое мы записали в начале: х+у=12 – как раз является функцией. Перенесем х в левую сторону выражения и запишем функцию в классическом виде.

у=12-х – функция имеет форму линии, откуда и название функции и соответствующего ей уравнения. Значение корня любого уравнения это одна или несколько точек на графике функции. Точки эти задаются пересечением с графиком другой функции.

Например, уравнение х+7=13 можно разбить на две функции:

у=х+7

у=13 – в первом случае это прямая линия. Во втором, прямая линия, которая проходит параллельно оси Оу через точку 13 на оси Ох. Точка пересечения двух графиков и будет решением уравнения.

Аналитический способ

Аналитический способ решения линейных уравнений подразумевает перенос величин из одной части выражения в другую с заменой знака. Смысл переноса в том, чтобы собрать все неизвестные в одной части уравнения, а все числа в другой.

Приведем пример линейного уравнения: 2х-7х+15=0

2х-7х+15=0 – соберем все значения х в правой части, а числа в левой

2х-7х=-15

-5х=-15 – теперь поделим обе части выражения на коэффициент при неизвестном, т. е. на число -5

х=3

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными

Из его названия становится ясно, что неизвестных величин в нем уже две. Линейные уравнения с двумя переменными выглядят так:

а * х + в * у = с.

Поскольку в записи встречаются две неизвестные, то ответ будет выглядеть как пара чисел. То есть недостаточно указать только одно значение. Это будет неполный ответ. Пара величин, при которых уравнение превращается в тождество, является решением уравнения. Причем в ответе всегда первой записывают ту переменную, которая идет раньше по алфавиту. Иногда говорят, что эти числа ему удовлетворяют. Причем таких пар может быть бесконечное количество.

Примеры заданий с линейными уравнениями

Первое задание. Решить линейные уравнения: 4х = 20, 8(х — 1) + 2х = 2(4 — 2х); (5х + 15) / (х + 4) = 4; (5х + 15) / (х + 3) = 4.

В уравнении, которое идет в этом списке первым, достаточно просто выполнить деление 20 на 4. Результат будет равен 5. Это и есть ответ: х=5.

Третье уравнение требует того, чтобы было выполнено тождественное преобразование. Оно будет заключаться в раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых. После первого действия уравнение примет вид: 8х — 8 + 2х = 8 — 4х. Потом нужно перенести все неизвестные в левую часть равенства, а остальные — в правую. Уравнение станет выглядеть так: 8х + 2х + 4х = 8 + 8. После приведения подобных слагаемых: 14х = 16. Теперь оно выглядит так же, как и первое, и решение его находится легко. Ответом будет х=8/7. Но в математике полагается выделять целую часть из неправильной дроби. Тогда результат преобразится, и «х» будет равен одной целой и одной седьмой.

В остальных примерах переменные находятся в знаменателе. Это значит, что сначала нужно узнать, при каких значениях уравнения определены. Для этого нужно исключить числа, при которых знаменатели обращаются в ноль. В первом из примеров это «-4», во втором оно «-3». То есть эти значения нужно исключить из ответа. После этого нужно умножить обе части равенства на выражения в знаменателе.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, в первом из этих уравнений получится: 5х + 15 = 4х + 16, а во втором 5х + 15 = 4х + 12. После преобразований решением первого уравнения будет х = -1. Второе оказывается равным «-3», это значит, что последнее решений не имеет.

Второе задание. Решить уравнение: -7х + 2у = 5.

Предположим, что первая неизвестная х = 1, тогда уравнение примет вид -7 * 1 + 2у = 5. Перенеся в правую часть равенства множитель «-7» и поменяв у него знак на плюс, получится, что 2у = 12. Значит, у=6. Ответ: одно из решений уравнения х = 1, у = 6.

Решение системы линейных уравнений методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы

Суть данного метода состоит в избавлении от одной из переменных в системе уравнений, алгоритм метода достаточно простой:

все уравнения системы почленно умножаются на такое число, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами (если коэффициенты при одной из переменных уже являются противоположными числами, то сразу можно переходить к пункту 2);
правая и левая части каждого уравнения почленно складываются, получается уравнение с одной переменной;
полученное уравнение решается относительно единственной переменной;
значение найденной переменной подставляется в одно из исходных уравнений системы, далее определяется значение второй переменной.

Решим систему уравнений

методом почленного сложения (вычитания). Здесь будет достаточно просто «избавиться» от переменной y. Для этого почленно умножим обе части первого уравнения системы на 2:

получим равносильную систему уравнений

Теперь прибавим к левой части первого уравнения левую часть второго уравнения, а к правой части первого уравнения — правую часть второго. В итоге получим уравнение вида

Решим это уравнение относительно единственной переменной:

Подставим найденное значение в первое уравнение исходной системы и найдём значение y:

Итак, пара чисел (4;3) является решением системы линейных уравнений.

Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Матрицей системы линейных уравнений называется таблица, составленная из коэффициентов при переменных. Так, для системы вида

матрицей A является

Столбцом свободных коэффициентов будем называть

а столбцом переменных —

Тогда систему уравнений можно переписать в виде:

Поясним, как происходит умножение матрицы на столбец. В матрице A есть строки: (а₁₁, а₁₂) и (а₂₁, а₂₂) а также столбцы (а₁₁, а₂₁) и (а₁₂, а₂₂).

При умножении матрицы на столбец X получается столбец, а само умножение происходит по следующему правилу:

Для нахождения обратной матрицы, которая обозначается как А⁻¹ , нам потребуется умение находить определитель матрицы, что подробно описано в разделе «Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера», и умение находить транспонированную матрицу T. Для того чтобы записать матрицу, транспонированную к данной, нужно лишь поменять столбцы и строки местами. Например, для матрицы A транспонированной будет матрица

Рассмотрим алгоритм поиска обратной матрицы:

1) вычислить определитель матрицы A:

2) записать матрицу миноров M. Для этого нужно просто переставить числа в матрице A следующим образом:

3) записать матрицу алгебраических дополнений А ͙. Для этого необходимо лишь поменять знаки коэффициентов а₁₂ и а₂₁ в матрице миноров M, в результате чего получим