Географические координаты

В ролях

Персонал мюзикла

Майкл Дуглас — хореограф Зак (дублирует Сергей Сазонтьев[источник не указан 252 дня])
Терренс Манн — Ларри, ассистент Зака
Шэрон Браун — Ким

Танцоры

Элисон Рид — Кэсси
Одри Лэндерс — Вэл Кларк (дублирует Марина Дюжева[источник не указан 252 дня])
Майкл Блевинс — Марк Тобори
Ямил Боргес — Диана Моралес (дублирует Наталья Гурзо[источник не указан 252 дня])
Жан Ган Бойд — Конни Вонг
Грэг Бурже — Ричи Уолтерс
Кэмерон Инглиш — Пол Сан Марко
Тони Филдс — Эл Делюка
Николь Фосси — Кристин Эвелин Эрлих-Делюка (дублирует Татьяна Божок[источник не указан 252 дня])
Вики Фредерик — Шейла Брайнт
Мишель Джонстон — Биби Бенсон
Джанет Джонс — Джуди Монро
Пэм Клингер — Мэгги Уинслоу
Чарльз МакГоуэн — Майк Кэсс (дублирует Вадим Андреев[источник не указан 252 дня])
Джастин Росс — Грэг Гарднер (дублирует Владимир Антоник[источник не указан 252 дня])
Блэйн Сэведж — Дон
Мэтт Уэст — Бобби

Поддерживаемый формат ввода и конвертирование координат

Карты от компании Google поддерживают введение координат за определенными правилами, которые распространяются и на другие географические направления

Если взять во внимание официальное руководство, то можно заметить, что разработчики рекомендуют придерживаться таких форматов:

41°24’12.2″N 2°10’26.5″E — то есть поочередное указание градусов минут и секунд с долготой и широтой;
41 24.2028, 2 10.4418 — градусы и десятичные минуты без долготы и широты (это уже заложено в цифры);
41.40338, 2.17403 — десятичные градусы (без определения минут, секунд, долготы и широты).

Иногда такие правила приводят к тому, что юзеру перед началом ввода приходится конвертировать имеющиеся значения в один тип, чтобы поиск корректно воспринял указанные координаты. Проще всего для этого задействовать онлайн-сервисы, которые автоматически совершат расчеты. Давайте рассмотрим небольшой пример преобразования.

Откройте любой понравившийся веб-ресурс для конвертирования и введите значения в соответствии с имеющимися числами.

Нажмите на кнопку конвертирования.

Скопируйте полученные результаты или переведите их сначала в другую широту и долготу.

Некоторые сайт позволяют сразу же отправиться к Google Картам, чтобы выполнить поиск по переведенным координатам.

На карте сразу отобразится правильная точка.

Теперь давайте перейдем непосредственно к способам поиска по координатам на рассматриваемом сервисе.

Способ 1: Полная версия сайта

По умолчанию полная версия сайта Google Карты предоставляет больше инструментов и функций, однако и в мобильном приложении есть свои преимущества. Если вы выбрали этот вариант, поиск следует осуществлять таким образом:

На главной странице Google перейдите в раздел «Карты», открыв список всех сервисов.

В строке поиска слева введите имеющиеся значения и нажмите на клавишу Enter.

После отображения точки вы можете изучить детальную информацию о ней.

Ничего не мешает также проложить маршрут, указав одну из точек с помощью координат.

Если требуется узнать координаты любого присутствующего места на карте, просто нажмите на нем правой кнопкой мыши и выберите пункт «Что здесь?».

Внизу отобразится небольшая панель, где серым цветом будут отмечены цифры координат.

Как видите, ничего сложного в выполнении поиска нет. Здесь главное придерживаться правил ввода и указывать координаты в одном формате. Далее карта самостоятельно предоставит всю необходимую информацию по поводу найденной точки.

Способ 2: Мобильное приложение

Сейчас мобильным приложением Google Карты пользуются многие юзеры, поскольку оно позволяет узнать график движения транспорта, проложить любой маршрут и использовать GPS-навигацию. Конечно, встроенная функциональность решит вопрос и с поиском по координатам, что производится так:

Скачайте и запустите приложение, а затем нажмите на строку поиска.

Введите координаты. Как раз здесь и может понадобиться конвертирование, поскольку не всегда с мобильного устройства получается указать градусы, минуты и секунды.

После активации поиска на карте отобразится найденное место. Его можно подробно изучить, поделиться, сохранить или проложить маршрут, используя, например, свое место положения в качестве точки отправления.

Подробнее: Поиск по координатам в Яндекс.Картах

Теперь вы знакомы с двумя методами нахождения места по значениям координат на Гугл Картах. Это позволит детально изучить точку, определить ее точное положение относительно других объектов или задать в качестве одной из целей маршрута.

Опишите, что у вас не получилось.
Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

Высота

Основная статья: Высота над уровнем моря

Чтобы полностью определить положение точки трёхмерного пространства, необходима третья координата — высота.
Расстояние до центра планеты не используется в географии: оно удобно лишь при описании очень глубоких областей планеты или, напротив, при расчёте орбит в космосе.

В пределах географической оболочки применяется обычно высота над уровнем моря, отсчитываемая от уровня «сглаженной» поверхности — геоида.
Такая система трёх координат оказывается ортогональной, что упрощает ряд вычислений.
Высота над уровнем моря удобна ещё тем, что связана с атмосферным давлением.

Расстояние от земной поверхности (ввысь или вглубь) часто используется для описания места, однако ‘не’ служит координатой.

Географический градус

Положение любого объекта на топографической карте определяется в градусах. Фактически, этот показатель измеряет углы от центра Земли до определенной точки на поверхности планеты, причем форма Земли в данном случае принимается за сферу.

Соответственно, сфера (планета) делится на равные части (градусы). Вся окружность разделяется на 360 градусов, каждый из которых, в свою очередь, состоит из 60 минут, а в одной минуте есть 60 секунд. Зная все эти данные можно весьма точно определить местоположение объекта на карте (рисунок 3).

Рисунок 3. Градус позволяет более точно определить расположение объекта на местности

Экватор считается нулевым градусом. В северном полушарии значения широты положительные, а в южном – отрицательные. Долгота, в свою очередь, определяет углы по направлению с востока на запад, а отсчет ведется от нулевого меридиана в Гринвиче. К западу от него значения будут отрицательными, а к востоку – положительными.

Чтобы проще понять эту сложную систему, приведем пример. Американский город Лос-Анджелес лежит на широте плюс 33 градуса (так как расположен в северном полушарии) и долготе минус 118 градусов, поскольку расположен к западу от Гринвича.

Что такое широта и как ее найти

Широтой называют расстояние от объекта до линии экватора. Измеряется в угловых единицах (таких как градус, град, минута, секунда и т.д.). Широта на карте либо глобусе обозначается горизонтальными параллелями — линиями, описывающими окружность параллельно экватору и сходящимися в виде ряда сужающихся колец к полюсам.

Линии широты

Поэтому различают широту северную — это вся часть земной поверхности севернее экватора, а также южную — это вся часть поверхности планеты южнее экватора. Экватор — нулевая, самая длинная параллель.

Параллели от линии экватора к северному полюсу принято считать положительной величиной от 0° до 90°, где 0° — это собственно сам экватор, а 90° — это вершина северного полюса. Они считаются как северная широта (с.ш.).
Параллели, исходящие от экватора в сторону южного полюса, обозначены отрицательной величиной от 0° до -90°, где -90° — это место южного полюса. Они считаются как южная широта (ю.ш.).
На глобусе параллели изображаются опоясывающими шар окружностями, которые уменьшаются с их приближением к полюсам.
Все пункты на одной параллели будут обозначаться единой широтой, но различной долготой.
На картах, исходя из их масштаба, параллели имеют форму горизонтальных, изогнутых дугой, полос — чем меньше масштаб, тем прямее изображена полоса параллели, а чем крупнее — тем она более изогнута.

Как найти координаты заданной точки по карте

Зачастую приходится узнавать координаты пункта, который расположен на карте в квадрате между двумя ближайшими параллелями и меридианами. Приблизительные данные можно получить на глазок, оценив последовательно шаг в градусах между нанесенными на карту линиями в интересующем районе, а затем сопоставив удаленность от них искомой местности. Для точных вычислений понадобятся карандаш с линейкой, или же циркуль.

За исходные данные берем обозначения ближайших к нашей точке параллели с меридианом.
Далее смотрим шаг между их полосами в градусах.
Потом смотрим величину их шага по карте в см.
Измеряем линейкой в см расстояние от заданной точки до ближайшей параллели, а также расстояние между этой линией и соседней, переводим в градусы и берем во внимание разницу — вычитая от большей, либо прибавляя к меньшей.
Таким образом получаем широту.

Аналогично находим долготу — если ближайший меридиан находится дальше от Гринвича, а заданный пункт ближе — то разницу вычитаем, если меридиан к Гринвичу ближе, а пункт дальше — то прибавляем.

Если под рукой нашелся только циркуль, то его его кончиками фиксируется каждый из отрезков, а распор переносится на масштаб.

Похожим образом производятся вычисления координат на поверхности глобуса.

Географическая система координат

Основная статья: Географические координаты

Географическая система координат обеспечивает возможность идентификации любой точки на поверхности земного шара совокупностью цифробуквенных обозначений. Как правило, координаты назначаются таким образом, что один из указателей обозначает позицию по вертикали, а другой или совокупность других — по горизонтали. Традиционный набор географических координат — широта, долгота и высота. Географическая система координат с использованием трёх перечисленных указателей является ортогональной.

Широта точки на поверхности Земли определяется как угол между плоскостью экватора и прямой, проходящей через эту точку в виде нормали к поверхности базового эллипсоида, примерно совпадающего по форме с Землей. Эта прямая обычно проходит в нескольких километрах от центра Земли, за исключением двух случаев: полюсов и экватора (в этих случаях она проходит непосредственно через центр). Линии, соединяющие точки одной широты, именуются параллелями. 0° широты соответствуют плоскости экватора, Северный полюс Земли соответствует 90° северной широты, Южный — соответственно, 90° южной широты. В свою очередь, долгота точки на поверхности Земли определяется как угол в восточном или западном направлении от основного меридиана к другому меридиану, проходящему через эту точку. Меридианы, соединяющие точки одной долготы, представляют собой полуэллипсы, сходящиеся на полюсах. Нулевым считается меридиан, проходящий через королевскую обсерваторию в Гринвиче, близ Лондона. Что касается высоты, то она отсчитывается от условной поверхности геоида, являющегося абстрактным пространственным представлением земного шара.

Форматы записи географических координат

Для записи географических координат может использоваться любой эллипсоид (или геоид), но чаще всего используются WGS 84 и Красовского (на территории РФ).

Координаты (широта от −90° до +90°, долгота от −180° до +180°) могут записываться:

в ° градусах в виде десятичной дроби (современный вариант)
в ° градусах и с десятичной дробью
в ° градусах, ′ минутах и с десятичной дробью (исторически сложившаяся форма записи)

Разделителем десятичной дроби может служить точка или запятая. Положительные знаки координат представляются (в большинстве случаев опускаемым) знаком «+» либо буквами:

«N» или «с. ш.» — северная широта,

«E» или «в. д.» — восточная долгота.

Отрицательные знаки координат представляются либо знаком «−», либо буквами:

«S» или «ю. ш.» — южная широта,
«W» или «з. д.» — западная долгота.

Буквы могут стоять как впереди, так и сзади. Единых правил записи координат не существует.

На картах поисковых систем по умолчанию показываются координаты в градусах с десятичной дробью со знаком «−» для отрицательной долготы. На картах Google и картах Яндекс вначале широта, затем долгота (до октября 2012 на картах Яндекс был принят обратный порядок: сначала долгота, потом широта). Эти координаты видны, например, при прокладке маршрутов от произвольных точек. При поиске распознаются и другие форматы.

В то же время часто используется и исконный способ записи с градусами, минутами и секундами. В настоящее время координаты могут записываться одним из множества способов или дублироваться двумя основными (с градусами и с градусами, минутами и секундами). Как пример, варианты записи координат знака «Нулевой километр автодорог Российской Федерации» — :

55,755831°, 37,617673° — градусы
N55.755831°, E37.617673° — градусы (+ доп. буквы)
55°45.35′N, 37°37.06′E — градусы и минуты (+ доп. буквы)
55°45′20.9916″N, 37°37′3.6228″E — градусы, минуты и секунды (+ доп. буквы)

При необходимости форматы можно пересчитать самостоятельно: 1° = 60′ (минутам), 1′ (минута) = 60″ (секундам). Также можно использовать специализированные сервисы. См. .

Геодезические данные

Чтобы однозначно определить направление «вертикальной» и «горизонтальной» поверхности, над которой они измеряют, картографы выбирают опорный эллипсоид с заданным началом и ориентацией, который наилучшим образом соответствует их потребностям в области, которая должна быть нанесена на карту. Затем они выбирают наиболее подходящее отображение сферической системы координат на этот эллипсоид, называемое наземной системой отсчета или геодезической системой отсчета .

Базы могут быть глобальными, что означает, что они представляют всю Землю, или они могут быть локальными, что означает, что они представляют собой эллипсоид, наилучшим образом подходящий только для части Земли. Точки на поверхности Земли перемещаются относительно друг друга из-за движения континентальной плиты, опускания и суточного движения Земли при приливе, вызванном Луной и Солнцем. Это ежедневное движение может достигать метра. Континентальное движение может составлять до 10 см в год или 10 м за столетие. В зоне высокого давления погодной системы может произойти проседание на 5 мм . Скандинавия поднимается на 1 см в год в результате таяния ледяных щитов последнего ледникового периода , но соседняя Шотландия поднимается только на 0,2 см . Эти изменения несущественны, если используются локальные данные, но статистически значимы, если используются глобальные данные.

Примеры глобальных датумов включают Всемирную геодезическую систему (WGS 84, также известную как EPSG: 4326), систему координат по умолчанию, используемую для Глобальной системы позиционирования , и Международную наземную систему отсчета (ITRF), используемую для оценки дрейфа континентов и деформации земной коры . Расстояние до центра Земли можно использовать как для очень глубоких позиций, так и для позиций в космосе.

Местные датумы, выбранные национальной картографической организацией, включают Североамериканский датум , европейский ED50 и британский OSGB36 . Для данного местоположения датум обеспечивает широту и долготу . В Соединенном Королевстве используются три общие системы широты, долготы и высоты. WGS 84 отличается в Гринвиче от карты OSGB36 примерно на 112 метров. Военная система ED50 , используемая НАТО , отличается примерно от 120 до 180 м.
ϕ{\ displaystyle \ phi}λ{\ displaystyle \ lambda}

Широта и долгота на карте, составленной относительно местной системы координат, могут не совпадать с данными, полученными от приемника GPS. Преобразование координат из одной системы координат в другую требует системы например, Гельмерта , хотя в определенных ситуациях может быть достаточно простого перевода .

В популярном программном обеспечении ГИС данные, спроецированные по широте / долготе, часто представляются в виде географической системы координат . Например, данные о широте / долготе, если датум Северной Америки 1983 года , обозначается как «GCS North American 1983».

Форматы записи географических координат

Координаты (широта от −90° до +90°, долгота от −180° до +180°) могут записываться:

в ° градусах в виде десятичной дроби (современный вариант)
в ° градусах и с десятичной дробью
в ° градусах, ′ минутах и с десятичной дробью (исторически сложившаяся форма записи)

Разделителем десятичной дроби может служить точка или запятая. Положительные знаки координат представляются (в большинстве случаев опускаемым) знаком «+» либо буквами: «N» — северная широта и «E» — восточная долгота.
Отрицательные знаки координат представляются либо знаком «−», либо буквами: «S» — южная широта и «W» — западная долгота. Буквы могут стоять как впереди, так и сзади.

Единых правил записи координат не существует.

55,755831°, 37,617673° — градусы
N55.755831°, E37.617673° — градусы (+ доп. буквы)
55°45.35′N, 37°37.06′E — градусы и минуты (+ доп. буквы)
55°45′20.9916″N, 37°37′3.6228″E — градусы, минуты и секунды (+ доп. буквы)

Определяем географические координаты

Градусная сеть поможет определить географические координаты. Поскольку мы имеем дело с дугами и окружностями, то все расчеты координат следует производить в градусах, минутах и секундах. Поэтому и сеть называется градусной.

Градусная сеть позволяет определять местоположение любой точки на земной поверхности с помощью географических координат – широты и долготы. При определении географических координат Земля принимается за шар, хотя мы помним, что она геоид.

Географическая широта φ – угол между плоскостью экватора и отвесной линией в данной точке, другими словами – это угловое расстояние точки от экватора по меридиану. Измеряется от 0 (экватор) до 90° (полюса). Различают северную (лежащую в Северном полушарии) и южную (расположенную в Южном полушарии) широту. Северную широту принято считать положительной, а южную – отрицательной. О широтах, близких к экватору, принято говорить как о низких, к полюсам – как о высоких.

Все точки, лежащие на одной параллели, имеют одинаковую широту. На глобусе параллели подписываются на 0° и 180° меридианах, на картах – на боковых рамках.

Определение географической широты

Все параллели – окружности, они содержат 360°. От экватора до каждого из полюсов градусное расстояние составляет 90°.

Ответьте на вопросы. По какой параллели можно быстрее совершить кругосветное путешествие – по 0° или по 66°? Почему кругосветные плавания нельзя считать доказательством шарообразности Земли?

«… 7июня 1862 г. трёхмачтовое судно «Британия» … Глазго потерпело крушение …гони … южн… берег… два матроса Капитан Гр… дости… контин… пл… жесток… инд… брошен этот документ … долготы и 37° … широты. Окажите им помощь… погибнут …» — это всё, что было известно о гибели судна капитана Гранта из романа Жюля Верна «Дети капитана Гранта». Но одной широты недостаточно, чтобы определить положение объекта на Земле. Ведь 37 параллель только в Южном полушарии пересекает и Южную Америку, и Австралию, и Новую Зеландию, и многочисленные острова.

Географическая долгота λ – двугранный угол, образованный плоскостью начального меридиана и плоскостью меридиана, проходящего через данную точку, иначе – угловое расстояние точки от начального меридиана.

Все меридианы – дуги и по длине они одинаковые. Поэтому люди договорились, от какого из них вести отсчёт. Долгое время каждая страна вела счёт долготы от своего начального меридиана, Франция – от Парижского, Россия – от Пулковского (с обсерваторией) у Санкт-Петербурга, США и Англия – от Гринвичского. С 1884 года нулевым и начальным меридианом для всех стран считается Гринвичский. Он проходит через пригород города Лондона Гринвич, где в 1637 г была основана одна из старейших в мире астрономических обсерваторий. Выбор начального меридиана очень важен, так как с ним связан и отсчёт времени.

От нулевого меридиана ведут счёт расстояния в градусах на восток от 0° до 180° и на запад 0° до 180°. Нулевой меридиан, продолжением которого является 180°, делит Землю на Западное и Восточное полушария. Меридианы показывают направление север-юг.

К востоку от Гринвичского меридиана долгота восточная, к западу – западная. От неё зависит местное солнечное время. Все точки, лежащие на одном меридиане, имеют одинаковую долготу. На глобусе меридианы подписываются на экваторе, на картах – на экваторе или на верхней и нижней рамках. На практике географическую долготу определяют по разнице местного времени между нулевым меридианом и меридианом пункта наблюдения.

Определение географической долготы

Любая точка на земле имеет свой «географический адрес». Теперь мы знаем, что этот адрес состоит из двух частей. Это как при игре в «морской бой», где тоже используется адрес. Две части географического адреса – широта и долгота, определить их нам помогает градусная сеть. Широта – место точки на определённой параллели, долгота – на меридиане. Место их пересечения и есть географический адрес – географические координаты.

Зная географические координаты можно найти любой объект на карте. И, наоборот, можно нанести новый объект на карту, определив его географические координаты, как это делали все первооткрыватели. Ошибки в этом стоили многих жизней.

До времени существования навигаторов, географические координаты в открытом море определяли сначала с помощью такого прибора, как астролябия, а затем его заменил секстант.

АстролябияСекстант

Переход из одной системы координат в другую

См. также: Преобразование координат

Декартовы и полярные

x=rcos⁡φ,{\displaystyle x=r\,\cos \varphi ,}

y=rsin⁡φ,{\displaystyle y=r\,\sin \varphi ,}

r=x2+y2,{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}

φ=arctg⁡yx+πu(−x)sgn⁡y,{\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y,}

где u — функция Хевисайда с u()=,{\displaystyle u_{0}(0)=0,} а sgn — функция signum. Здесь функции u и sgn используются как «логические» переключатели, аналогичные по значению операторам «если .. то» (if…else) в языках программирования. Некоторые языки программирования имеют специальную функцию atan2 (y, x), которая возвращает правильный φ в необходимом квадранте, определённом координатами x и y.

Декартовы и цилиндрические

x=rcos⁡φ,{\displaystyle x=r\,\cos \varphi ,}

y=rsin⁡φ,{\displaystyle y=r\,\sin \varphi ,}

z=z.{\displaystyle z=z.\quad }

r=x2+y2,{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}

φ=arctg⁡yx+πu(−x)sgn⁡y,{\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y,}

z=z.{\displaystyle z=z.\quad }

(dxdydz)=(rcos⁡θ−rsin⁡φrsin⁡θrcos⁡φ1)⋅(drdφdz),{\displaystyle {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \theta &-r\sin \varphi &0\\r\sin \theta &r\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}},}

(drdφdz)=(xx2+y2yx2+y2−yx2+y2xx2+y21)⋅(dxdydz).{\displaystyle {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.}

Декартовы и сферические

x=ρsin⁡θcos⁡φ,{\displaystyle {x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad }

y=ρsin⁡θsin⁡φ,{\displaystyle {y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad }

z=ρcos⁡θ;{\displaystyle {z}=\rho \,\cos \theta ;\quad }

ρ=x2+y2+z2,{\displaystyle {\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},}

θ=arccos⁡zρ=arctg⁡x2+y2z,{\displaystyle {\theta }=\arccos {\frac {z}{\rho }}=\operatorname {arctg} {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}},}

φ=arctg⁡yx+πu(−x)sgn⁡y.{\displaystyle {\varphi }=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}+\pi \,u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y.}

(dxdydz)=(sin⁡θcos⁡φρcos⁡θcos⁡φ−ρsin⁡θsin⁡φsin⁡θsin⁡φρcos⁡θsin⁡φρsin⁡θcos⁡φcos⁡θ−ρsin⁡θ)⋅(dρdθdφ),{\displaystyle {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},}

(dρdθdφ)=(xρyρzρxzρ2×2+y2yzρ2×2+y2−(x2+y2)ρ2×2+y2−yx2+y2xx2+y2)⋅(dxdydz).{\displaystyle {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x/\rho &y/\rho &z/\rho \\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.}

Цилиндрические и сферические

r=ρsin⁡θ,{\displaystyle {r}=\rho \,\sin \theta ,}

φ=φ,{\displaystyle {\varphi }=\varphi ,\quad }

z=ρcos⁡θ;{\displaystyle {z}=\rho \,\cos \theta ;}

ρ=r2+z2,{\displaystyle {\rho }={\sqrt {r^{2}+z^{2}}},}

θ=arctg⁡zr+πu(−r)sgn⁡z,{\displaystyle {\theta }=\operatorname {arctg} {\frac {z}{r}}+\pi \,u_{0}(-r)\,\operatorname {sgn} z,}

φ=φ.{\displaystyle {\varphi }=\varphi .\quad }

(drdφdh)=(sin⁡θρcos⁡θ1cos⁡θ−ρsin⁡θ)⋅(dρdθdφ),{\displaystyle {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dh\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta &\rho \cos \theta &0\\0&0&1\\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},}

(dρdθdφ)=(rr2+z2zr2+z2−zr2+z2rr2+z21)⋅(drdφdz).{\displaystyle {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}&0&{\frac {z}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\\{\frac {-z}{r^{2}+z^{2}}}&0&{\frac {r}{r^{2}+z^{2}}}\\0&1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}}.}