Интеграл

О несобственных интегралах

Мы говорили об определенном интеграле для конечного промежутка от непрерывной на нем функции f(х). Но ряд конкретных задач приводит к необходимости расширить понятие интеграла на случай, когда пределы (один или оба) равны бесконечности, или при разрывной функции. Например, при вычислении площадей под кривыми, асимптотически приближающимися к осям координат. Для распространения понятия интеграла на этот случай, кроме предельного перехода при вычислении Римановой суммы аппроксимирующих прямоугольников, выполняется еще один. При таком двукратном переходе к пределу получается несобственный интеграл. В противоположность ему все интегралы, о которых говорилось выше, называются собственными.

Понятие двойного интеграла

Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом:

Разбираемся в терминах и обозначениях:– значок двойного интеграла; – область интегрирования (плоская фигура); – подынтегральная функция двух переменных, часто она довольно простая; – значки дифференциалов.

Что значит вычислить двойной интеграл?

Вычислить двойной интеграл – это значит найти ЧИСЛО. Самое обычное число:
И крайне желательно найти его правильно =)

Результат (число ) может быть отрицательным. И ноль тоже запросто может получиться. Специально остановился на данном моменте, поскольку немало студентов испытывают беспокойство, когда ответ получается «шото вроде как странный».

Многие помнят, что «обычный» определённый интеграл – тоже число. Здесь всё так же. У двойного интеграла существует и отличный геометрический смысл, но об этом позже, всему своё время.

Как вычислить двойной интеграл?

Для того чтобы вычислить двойной интеграл, его необходимо свести к так называемым повторным интегралам. Сделать это можно двумя способами. Наиболее распространён следующий способ:

Вместо знаков вопроса необходимо расставить пределы интегрирования. Причём одиночные знаки вопроса  у внешнего интеграла – это числа, а двойные знаки вопроса  у внутреннего интеграла – это функции одной переменной , зависящие от «икс».

Откуда взять пределы интегрирования? Они зависят от того, какая в условии задачи дана область . Область  представляет собой обычную плоскую фигуру, с которой вы неоднократно сталкивались, например, при вычислении площади плоской фигуры или вычислении объема тела вращения. Очень скоро вы узнаете, как правильно расставлять пределы интегрирования.

После того, как переход к повторным интегралам осуществлён, следуют непосредственно вычисления: сначала берётся внутренний интеграл , а потом – внешний. Друг за другом. Отсюда и название – повторные интегралы.

Грубо говоря, задача сводится к вычислению двух определённых интегралов. Как видите всё не так сложно и страшно, и если вы совладали с «обыкновенным» определённым интегралом, что мешает разобраться с двумя интегралами?!

Второй способ перехода к повторным интегралам встречается несколько реже:
Что поменялось? Поменялся порядок интегрирования: теперь внутренний интеграл берётся по «икс», а внешний – по «игрек». Пределы интегрирования, обозначенные звёздочками – будут другими! Одиночные звёздочки внешнего интеграла – это числа, а двойные звёздочки внутреннего интеграла – это обратные функции , зависящие от «игрек».

Какой бы мы ни выбрали способ перехода к повторным интегралам, окончательный ответ обязательно получится один и тот же:

Пожалуйста, запомните это важное свойство, которое можно использовать, в том числе, для проверки решения

Алгоритм решения двойного интеграла:

Систематизируем информацию: в каком порядке нужно решать рассматриваемую задачу?

1) Необходимо выполнить чертёж. Без чертежа задачу не решить. Точнее, решать-то она решается, но это будет похоже на игру в шахматы вслепую. На чертеже следует изобразить область , которая представляет собой плоскую фигуру. Чаще всего фигура незамысловата и ограничена какими-нибудь прямыми, параболами, гиперболами и т.д. Грамотную и быструю технику построения чертежей можно освоить на уроках Графики и основные свойства элементарных функций, Геометрические преобразования графиков. Итак, этап первый – выполнить чертёж.

2) Расставить пределы интегрирования и перейти к повторным интегралам.

3) Взять внутренний интеграл

4) Взять внешний интеграл и получить ответ (число).

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Здесь новизны еще меньше. Все выкладки статьи Интегрирование по частям в неопределенном интеграле в полной мере справедливы и для определенного интеграла.
Плюсом идёт только одна деталь, в формуле интегрирования по частям добавляются пределы интегрирования:

Формулу Ньютона-Лейбница здесь необходимо применить дважды: для произведения   и, после того, как мы возьмем интеграл .

Тип интеграла для примера я опять подобрал такой, который еще нигде не встречался на сайте. Пример не самый простой, но очень и очень познавательный.

Пример 8

Вычислить определенный интеграл

Решаем.

Интегрируем по частям:

У кого возникли трудности с интегралом , загляните на урок Интегралы от тригонометрических функций, там он подробно разобран.

Интеграл

(1) Записываем решение в соответствии с формулой интегрирования по частям.

(2) Для произведения применяем формулу Ньютона-Лейбница. Для оставшегося интеграла используем свойства линейности, разделяя его на два интеграла. Не путаемся в знаках!

(3) Берем два оставшихся интеграла. Интеграл  также разобран на уроке Интегралы от тригонометрических функций

(4) Применяем формулу Ньютона-Лейбница для двух найденных первообразных.

Далее ответ доводится «до ума». Повторюсь, будьте ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫ при подстановках и заключительных вычислениях. Здесь допускают ошибки чаще всего.

Если честно, я недолюбливаю формулу  и, по возможности, … обхожусь вообще без нее! Рассмотрим второй способ решения, с моей точки зрения он более рационален.

Вычислить определенный интеграл

На первом этапе я нахожу неопределенный интеграл:

Интегрируем по частям:

Интеграл
Первообразная функция найдена. Константу  в данном случае добавлять не имеет смысла.

В чём преимущество такого похода? Не нужно «таскать за собой» пределы интегрирования, действительно, замучаться можно десяток раз записывать мелкие значки пределов интегрирования

На втором этапе я провожу проверку (обычно на черновике).

Тоже логично. Если я неправильно нашел первообразную функцию, то неправильно решу и определенный интеграл. Это лучше выяснить немедленно, дифференцируем ответ:

Интеграл

Получена исходная подынтегральная функция, значит, первообразная функция найдена верно.

Третий этап – применение формулы Ньютона-Лейбница:Интеграл

И здесь есть существенная выгода! В «моём» способе решения гораздо меньший риск запутаться в подстановках и вычислениях – формула Ньютона-Лейбница применяется всего лишь один раз. Если чайник решит подобный интеграл по формуле  (первым способом), то стопудово где-нибудь допустит ошибку.

Рассмотренный алгоритм решения можно применить для любого определенного интеграла.

Уважаемый студент, распечатай и сохрани:

Что делать, если дан определенный интеграл, который кажется сложным или не сразу понятно, как его решать?

1) Сначала находим неопределенный интеграл (первообразную функцию). Если на первом же этапе случился облом, дальше рыпаться с Ньютоном и Лейбницем бессмысленно. Путь только один – повышать свой уровень знаний и навыков в решении неопределенных интегралов.

2) Проверяем найденную первообразную функцию дифференцированием. Если она найдена неверно, третий шаг будет напрасной тратой времени.

3) Используем формулу Ньютона-Лейбница. Все вычисления проводим ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНО  –  тут самое слабое звено задания.

И, на закуску, интеграл для самостоятельного решения.

Пример 9

Вычислить определенный интеграл

Решение и ответ где-то рядом.

Следующий рекомендуемый урок по теме – Как вычислить площадь фигуры с помощью определенного интеграла? Там речь пойдет о геометрическом смысле определенного интеграла. Дополнительные материалы по определенному интегралу также можно найти в статье Эффективные методы вычисления определенных интегралов. Данный урок содержит ряд очень важных технических приёмов и позволит существенно повысить навыки вычисления определенного интеграла.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Интеграл

Пример 4: Решение:Интеграл

Пример 6: Решение:

Проведем замену переменной: ,Новые переделы интегрирования:Интеграл

Примечания: В рассмотренном интеграле – как раз тот случай, когда уместно применить свойство определенного интеграла . Если не совсем понятно, почему из арктангенса можно вынести минус, рекомендую обратиться к методическому материалу Графики и свойства элементарных функций.

Пример 7: Решение:Замена: Новые пределы интегрирования:Интеграл

Пример 9: Решение:Интегрируем по частям:Интеграл

Вы точно их прорешали и получили такие ответы? 😉 И на старуху бывает порнуха.

(Переход на главную страницу)

Интеграл функции одной переменной

Неопределённый интеграл

Основная статья: Неопределённый интеграл

Пусть дана f(x){\displaystyle f(x)} — функция действительной переменной.
Неопределённым интегралом функции f(x){\displaystyle f(x)}, или её первообразной, называется такая функция F(x){\displaystyle F(x)}, производная которой равна f(x){\displaystyle f(x)}, то есть F′(x)=f(x){\displaystyle F'(x)=f(x)}. Обозначается это так:

F(x)=∫f(x)dx{\displaystyle F(x)=\int f(x)dx}

В этой записи ∫{\displaystyle \int } — знак интеграла, f(x){\displaystyle f(x)} называется подынтегральной функцией, а dx{\displaystyle dx} — элементом интегрирования.

Первообразная существует не для любой функции. Легко показать, что по крайней мере все непрерывные функции имеют первообразную.
Поскольку производные двух функций, отличающихся на константу, совпадают, в выражение для неопределённого интеграла включают произвольную постоянную C{\displaystyle C}, например

∫x2dx=x33+C,∫cos⁡(x)dx=sin⁡(x)+C{\displaystyle \int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C,\qquad \int \cos(x)dx=\sin(x)+C}

Операция нахождения интеграла называется интегрированием. Операции интегрирования и дифференцирования обратны друг другу в следующем смысле:

ddx∫f(x)dx=f(x),∫df(x)dxdx=f(x)+C{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int f(x)dx=f(x),\qquad \int {\frac {df(x)}{dx}}dx=f(x)+C}

Определённый интеграл

Основная статья: Определённый интеграл

Интеграл Интеграл как площадь криволинейной трапеции

Понятие определённого интеграла возникает в связи с задачей о нахождении площади криволинейной трапеции, нахождении пути по известной скорости при неравномерном движении и т. п.

Что такое интеграл, анимация

Рассмотрим фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми x=a{\displaystyle x=a} и x=b{\displaystyle x=b} и графиком функции y=f(x){\displaystyle y=f(x)}, называемую криволинейной трапецией (см. рисунок). Если по оси абсцисс отложено время, а по оси ординат — скорость тела, то площадь криволинейной трапеции есть пройденный телом путь.

Для вычисления площади этой фигуры естественно применить следующий приём. Разобьём отрезок a;b{\displaystyle } на меньшие отрезки точками xi{\displaystyle x_{i}},
такими что a=x<…<xi<xi+1<…<xn=b{\displaystyle a=x_{0}<…<x_{i}<x_{i+1}<…<x_{n}=b},
а саму трапецию — на ряд узких полосок, лежащих над отрезками xi;xi+1{\displaystyle }. Возьмём в каждом отрезке по произвольной точке ξi∈xi;xi+1{\displaystyle \xi _{i}\in }. Ввиду того, что длина i{\displaystyle i}-го отрезка Δxi=xi+1−xi{\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}} мала, будем считать значение функции f(x){\displaystyle f(x)} на нём примерно постоянным и равным yi=f(ξi){\displaystyle y_{i}=f(\xi _{i})}. Площадь криволинейной трапеции будет приблизительно равна площади ступенчатой фигуры, изображённой на рисунке:

S≈∑i=n−1yiΔxi(∗){\displaystyle S\approx \sum _{i=0}^{n-1}y_{i}\Delta x_{i}\qquad (*)}

Если же теперь увеличивать число точек разбиения, так, чтобы длины всех отрезков неограниченно убывали (maxΔxi→{\displaystyle \max \Delta x_{i}\to 0}), площадь ступенчатой фигуры будет всё ближе к площади криволинейной трапеции.

Поэтому мы приходим к такому определению:

Если существует, независимо от выбора точек разбиения отрезка и точек ξi{\displaystyle \xi _{i}}, предел суммы (*) при стремлении длин всех отрезков к нулю, то такой предел называется определённым интегралом (в смысле Римана) от функции f(x){\displaystyle f(x)} по отрезку a;b{\displaystyle } и обозначается

∫abf(x)dx{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}

Сама функция при этом называется интегрируемой (в смысле Римана) на отрезке a;b{\displaystyle }. Суммы вида (*) называются интегральными суммами.

Примеры интегрируемых функций:

  • непрерывные функции
  • функции, имеющие лишь конечное число разрывов первого рода
  • монотонные функции.

Пример неинтегрируемой функции: функция Дирихле (1 при x{\displaystyle x} рациональном, 0 при иррациональном). Поскольку множество рациональных чисел всюду плотно в R{\displaystyle {\mathbb {R} }}, выбором точек ξi{\displaystyle \xi _{i}} можно получить любое значение интегральных сумм от 0 до b−a{\displaystyle b-a}.

Между определённым и неопределённым интегралом имеется простая связь. А именно, если

∫f(x)dx=F(x)+C{\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}

то

∫abf(x)dx=F(b)−F(a){\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}

Это равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

Площадь под кривой линией

Итак, как же определить ее точную величину? Попробуем раскрыть процесс ее вычисления через интеграл подробно, с самых азов.

Пусть f является непрерывной на отрезке функцией. Рассмотрим кривую у = f(x), изображенную на рисунке ниже. Как найти площадь области, ограниченной кривой ), осью х, и линиями х = а и х = b? То есть площадь заштрихованной фигуры на рисунке.

Интеграл

Самый простой случай, когда f является постоянной функцией; то есть, кривая есть горизонтальная линия f(X) = k, где k постоянная и k ≥ 0, как показано на рисунке ниже.

Интеграл

Области некоторых других простых фигур, таких как треугольник, трапеция и полуокружность, даются формулами из планиметрии.

Площадь под любой непрерывной кривой у = f(х) дается определенным интегралом, который записывается так же, как обычный интеграл.

Историческая справка

Основные понятия интегрального исчисления введены в работах Ньютона и Лейбница в конце XVII века (первые публикации состоялись в 1675 году). Лейбницу принадлежит обозначение интеграла ∫ydx{\displaystyle \int ydx}, напоминающее об интегральной сумме, как и сам символ ∫{\displaystyle \int }, от буквы ſ («длинная s») — первой буквы в латинском слове summa (тогда ſumma, сумма). Сам термин «интеграл» предложен Иоганном Бернулли, учеником Лейбница. Обозначение пределов интегрирования в виде ∫ab{\displaystyle \int _{a}^{b}} введено Фурье в 1820 году.

Строгое определение интеграла для случая непрерывных функций сформулировано Коши в 1823 году, а для произвольных функций — Риманом в 1853 году.
Определение интеграла в смысле Лебега впервые дано Лебегом в 1902 году (для случая функции одной переменной и меры Лебега).

Обобщения

Интеграл Лебега

Основная статья: Интеграл Лебега

В основе определения интеграла Лебега лежит понятие σ{\displaystyle \sigma }-аддитивной меры.
Мера является естественным обобщением понятий длины, площади и объёма.

Интеграл Лебега функции f{\displaystyle f} определённой на пространстве X{\displaystyle X} по мере μ{\displaystyle \mu } обозначают

∫Xfμ{\displaystyle \int \limits _{X}f\mu }, ∫x∈Xf(x)μ{\displaystyle \int \limits _{x\in X}f(x)\mu } или ∫Xf(x)μ(dx){\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\mu (dx)}

последнее два обозначения употребляют если необходимо подчеркнуть что интегрирование ведётся по переменной x{\displaystyle x}.
Однако часто пользуются следующим не вполне правильным обозначением

∫Xfdμ.{\displaystyle \int \limits _{X}fd\mu .}

Полагая меру отрезка (прямоугольника, параллелепипеда) равной его длине (площади, объёму), а меру конечного либо счётного объединения непересекающихся отрезков (прямоугольников, параллелепипедов), соответственно, сумме их мер, и продолжая эту меру на более широкий класс измеримых множеств, получим т. наз. Лебегову меру на прямой (в R2{\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}}, в R3){\displaystyle {\mathbb {R} }^{3})}.

Естественно, в этих пространствах возможно ввести и другие меры, отличные от Лебеговой. Меру можно ввести также на любом абстрактном множестве.
В отличие от интеграла Римана, определение интеграла Лебега остаётся одинаковым для всех случаев.
Идея его состоит в том, что при построении интегральной суммы значения аргумента группируются не по близости к друг другу (как в определении по Риману), а по близости соответствующих им значений функции.

Пусть есть некоторое множество X{\displaystyle X}, на котором задана σ{\displaystyle \sigma }-аддитивная мера μ{\displaystyle \mu }, и функция fX→R{\displaystyle f:X\to {\mathbb {R} }}.
При построении интеграла Лебега рассматриваются только измеримые функции, то есть такие, для которых множества

Ea={x∈Xf(x)<a}{\displaystyle E_{a}=\{x\in X:f(x)<a\}}

измеримы для любого a∈R{\displaystyle a\in {\mathbb {R} }} (это эквивалентно измеримости прообраза любого борелевского множества).

Сначала интеграл определяется для ступенчатых функций, то есть таких, которые принимают конечное или счётное число значений ai{\displaystyle a_{i}}:

∫Xfμ=∑iaiμ(f−1(ai)){\displaystyle \int \limits _{X}f\mu =\sum _{i}a_{i}\mu (f^{-1}(a_{i}))}

где f−1(ai){\displaystyle f^{-1}(a_{i})} — полный прообраз точки ai{\displaystyle a_{i}}; эти множества измеримы в силу измеримости функции. Если этот ряд абсолютно сходится, ступенчатую функцию f{\displaystyle f} назовём интегрируемой в смысле Лебега.
Далее, назовём произвольную функцию f{\displaystyle f} интегрируемой в смысле Лебега, если существует последовательность интегрируемых ступенчатых функций fn{\displaystyle f_{n}}, равномерно сходящаяся к f{\displaystyle f}. При этом последовательность их интегралов также сходится; её предел и будем называть интегралом Лебега от функции f{\displaystyle f} по мере μ{\displaystyle \mu }:

∫Xfμ=lim∫Xfnμ{\displaystyle \int \limits _{X}f\mu =\lim \int \limits _{X}f_{n}\mu }

Если рассматривать функции на Rn{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} и интеграл по мере Лебега, то все функции, интегрируемые в смысле Римана, будут интегрируемы и в смысле Лебега.
Обратное же неверно (например, функция Дирихле не интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу, так как равна нулю почти всюду).
Фактически, любая ограниченная измеримая функция интегрируема по Лебегу.

Фундаментальное соотношение интегрального исчисления

Оно связывает отношения между дифференцированием и интегрированием и показывает, что существует операция, обратная дифференцированию функции, — ее интегрирование. Оно также показывает, что если любая функция f(х) непрерывна, то применением к ней этой математической операции можно найти целый ансамбль (совокупность, множество) функций, первообразных для нее (или иначе, найти неопределенный интеграл от нее).

Пусть функция F(x) является обозначением результата интегрирования функции f(х). Соответствие между этими двумя функциями в результате интегрирования второй из них обозначается следующим образом:

Интеграл

Как видно, при символе интеграла отсутствуют пределы интегрирования. Это означает, что из определенного он преобразован в неопределенный интеграл. Слово «неопределенный» означает, что результатом операции интегрирования в данном случае является не одна, а множество функций. Ведь, кроме собственно функции F(x), последним выражениям удовлетворяет и любая функция F(x)+С, где С = const. При этом подразумевается, что постоянный член в ансамбле первообразных можно задавать по произволу.

Следует подчеркнуть, что, если интеграл, определенный от функции, является числом, то неопределенный есть функция, точнее, их множество. Термин «интегрирование» применяется для определения операции разыскания обоих видов интегралов.

Геометрическое и механическое истолкование определенного интеграла

Попробуем дать развернутый ответ на вопрос о том, что такое интеграл? Рассмотрим интеграл на отрезке от положительной внутри него функции f(х), причем считаем, что верхний предел больше нижнего a<b. Как мы уже видели выше, в этом случае площадь, находящаяся между графиком y= f(х) и осью абсцисс в пределах отрезка , численно равна интегралу от a до b.

Если ординаты функции f(х) отрицательны внутри , то абсолютное значение интеграла равно площади между осью абсцисс и графиком y=f(х), сам же интеграл отрицателен.

В случае же однократного или неоднократного пересечения графиком y=f(х) оси абсцисс на отрезке , как показано на рисунке ниже, для вычисления интеграла нужно определить разность, в которой уменьшаемое будет равно суммарной площади участков, находящихся над осью абсцисс, а вычитаемое – суммарной площади участков, находящихся под ней.

Интеграл

Механическое истолкование определенного интеграла тесно связано с геометрическим. Вернемся к разделу «Риманова сумма» и представим, что приведенный на рисунках график выражает функцию скорости v=f(t) при неравномерном движении материальной точки (ось абсцисс является осью времени). Тогда площадь любого аппроксимирующего прямоугольника шириной Δt, который мы строили при формировании Римановой суммы, будет выражать приближенно путь точки за время Δt, а именно v(t*)Δt.

Полная сумма площадей прямоугольников на отрезке от t1=a до t2=b выразит приближенно путь s за время t2– t1 , а предел ее, т. е. интеграл (определенный) от a до b функции v = f(t) по dt даст точное значение пути s.

Как возникло вычисление интегралов и производных?

После создания Декартом основ аналитической геометрии и появления возможности изображать функциональные зависимости графически в осях декартовой системы координат, перед исследователями встали две крупные новые задачи: как провести касательную к кривой линии в любой ее точке и как найти площадь фигуры, ограниченной сверху этой кривой и прямыми, параллельными осям координат. Неожиданным образом оказалось, что первая из них эквивалентна нахождению мгновенной скорости, а вторая – нахождению пройденного пути. Ведь он при неравномерном движении изображался в декартовых осях координат «расстояние» и «время» некоторой кривой линией.

Гением Лейбница и Ньютона в середине 17 в. были созданы методы, позволившие решать обе эти задачи. Оказалось, что для проведения касательной к кривой в точке нужно найти величину так называемой производной от функции, описывающей эту кривую, в рассматриваемой ее точке, и эта величина оказывается равной скорости изменения функции, т. е. применительно к зависимости «путь от скорости» собственно мгновенной скоростью тела.

Для нахождения же площади, ограниченной кривой линией, следовало вычислить определенный интеграл, который давал ее точную величину. Производная и интеграл – основные понятия дифференциального и интегрального исчисления, являющихся базисом современного матанализа – важнейшего раздела высшей математики.

admin
Оцените автора
( Пока оценок нет )
Добавить комментарий