Что такое фрактал? фракталы в природе

Немного о размерностях.

В своей повседневной жизни мы постоянно встречаемся с размерностями. Мы прикидываем длину дороги (250 м), узнаем площадь квартиры (78 м2) и ищем на наклейке объем бутылки пива (0.33 дм3). Это понятие вполне интуитивно ясно и, казалось бы, не требует разъяснения. Линия имеет размерность 1. Это означает, что, выбрав точку отсчета, мы можем любую точку на этой линии определить с помощью 1 числа — положительного или отрицательного. Причем это касается всех линий — окружность, квадрат, парабола и т.д.

Размерность 2 означает, что любую точку мы можем однозначно определить двумя числами. Не надо думать, что двумерный — значит плоский. Поверхность сферы тоже двумерна (ее можно определить с помощью двух значений — углов наподобие ширины и долготы).

Если смотреть с математической точки зрения, то размерность определяется следующим образом: для одномерных объектов — увеличение в два раза их линейного размера приводит к увеличению размеров (в данном случае длинны) в два раза
(2^1).

Для двумерных объектов увеличение в два раза линейных размеров приводит к увеличению размера (например, площадь прямоугольника) в четыре раза
(2^2).

Для 3-х мерных объектов увеличение линейных размеров в два раза приводи к увеличению объема в восемь раз
(2^3) и так далее.

Таким образом, размерность D можно рассчитать исходя из зависимости увеличения «размера» объекта S от увеличения линейных размеров L. D=log(S)/log(L). Для линии D=log(2)/log(2)=1. Для плоскости D=log(4)/log(2)=2. Для объема D=log(8)/log(2)=3. Может быть немного запутано, но в общем-то несложно и понятно.

Зачем я это все рассказываю? А для того чтобы понять, как отделять фракталы от, скажем, колбасы. Попробуем посчитать размерность для кривой Пеано. Итак, у нас исходная линия, состоящая из трех отрезков длинны Х, заменяется на 9 отрезков втрое меньшей длинны. Таким образом, при увеличении минимального отрезка в 3 раза длина всей линии увеличивается в 9 раз и D=log(9)/log(3)=2 — двумерный объект!!!

Так вот, когда размерность фигуры получаемой из каких-то простейших объектов (отрезков) больше размерности этих объектов — мы имеем дело с фракталом.

Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:

Применение

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

Радиотехника

Фрактальные антенны

Основная статья: Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику.

Коэн основал собственную компанию и наладил серийный выпуск своих антенн. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться.

Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность.

Информатика

Сжатие изображений

Основная статья: Алгоритм фрактального сжатия

Фрактальное дерево

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Ещё одно фрактальное дерево

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Отец фракталов

Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт — отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал. Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике — фрактальной геометрии.

Что же такое фрактал. Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала — это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно).

Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature» («Фрактальная геометрия природы») ставший классическим — «Какова длина берега Британии?». Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра — мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно — длина берега Британии бесконечна.

Стохастические фракталы[править]

Кривая Коха, как бы ни была похожа на границу берега, не может выступать в качестве её модели из-за того, что она всюду одинакова, самоподобна, слишком «правильна». Все природные объекты создаются по капризу природы, в этом процессе всегда есть случайность. Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. К этому классу фракталов относится и фрактальная монотипия, или стохатипия. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».

Плазмаправить

Плазма

Для её построения возьмём прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральные точки прямоугольника и его сторон, и раскрашиваем их в цвет, равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число, пропорциональное размеру разбиваемого прямоугольника. Прямоугольник разбиваем на 4 равных, к каждому из которых применяется та же процедура. Далее процесс повторяется. Чем больше случайное число — тем более «рваным» будет рисунок.

Если мы теперь скажем, что цвет точки — это высота над уровнем моря, то вместо плазмы получим горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму, строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладывается текстура и т. д.

Рандомизированный(стохастический) фракталправить

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

Рандомизованный фрактал строится по обычному алгоритму, за исключением того, что при вычислении на каждой итерации добавляются случайные величины.

Торговля по фракталам

Фракталы по своей сути являются индикатором, при помощи которого можно определять предельные точки стоимости, наглядно отображающиеся на ценовом графике. То есть, они являются определённым уровнем, достигая которого, стоимость меняет направление своего движение на противоположное. Проще говоря, фракталы – это индикатор разворота тренда без перерисовки.

Изначально данная система разрабатывалась для торговли ценными бумагами и акциями различных компаний. Однако по мере развития различных торговых бирж инструмент успешно перекочевал на рынок Форекс и различные бинарные опционы, где показал себя крайне эффективным торговым индикатором.

Наиболее популярный инструмент, работающий на основе принципа фрактального деления рынка, был создан широко известным в трейдерской среде инвестором и спекулянтом Биллом Вильямсом. Он наглядно изобразил на ценовом графике принцип работы фракталов и доказал их высокую эффективность в проведении финансовых операций. Данный индикатор генерировал всего 2 торговых сигнала:

1. «FractalUp». Представляет собой стрелочку, направленную в восходящем направлении;
2. «FractalDown». Представляет собой стрелочку, направленную в нисходящем направлении.

Стоит отметить, что сразу же эффективно применять фракталы получится далеко не у каждого трейдера, так как они на первый взгляд могут показаться крайне непростыми. Однако если трейдер углубится в изучение данной темы и попрактикуется в торговле на тестовом балансе, он вполне сможет освоить методику и применять её в дальнейшей торговле.

Основными проблемами большинства начинающих пользователей являются обнаружение нужной для торговли линии, поиск наиболее надёжных стрелочек, генерируемых инструментом, а также вычисление времени для максимально прибыльного входа в торговлю и фиксации наибольшей прибыли. Все эти сложности уходят по мере освоения трейдером рабочей системы. Логично, что новичкам придётся потратить на это больше времени, чем опытным спекулянтам.

Несмотря на наличие отрицательных черт, индикатор всё равно является крайне эффективным. Это связано с большим количеством положительных качеств использования его в торговле. Стоит заранее отметить, что большая часть успешных сделок проводится именно при помощи инструментов технического анализа. Также индикатор обеспечивает трейдеру очень высокий доход, так как ордеры открываются в точках зарождения мощного движения тенденции.

Стоит заранее разобраться с алгоритмом установки индикатора на рабочий график. Так как инструмент является стандартным для большинства популярных торговых платформ, трейдеру понадобится лишь найти его в меню с инструментами и перенести в рабочую область. Если же применяемая пользователем рабочая стратегия подразумевает применение нестандартных настроек инструмента, можно установить его готовый шаблон. Делается это следующим образом:

1. Для начала необходимо найти необходимый шаблон в интернете и скачать его на свой компьютер;
2. После этого следует переместить скачанные файлы в папку с инструментами используемой трейдером торговой платформы;
3. Для того, чтобы инструмент отображался в рабочем клиенте, необходимо перезапустить его;
4. После этого шаблон можно будет найти в разделе с пользовательскими индикаторами.

Эффективность торговли по той или иной стратегии во многом определяется тем, насколько хорошо трейдер понимает все её тонкости. В случае, если пользователь комплексно освоит принцип работы методики, он сможет стабильно проводить успешные сделки и получать высокий доход.

Метод фракталов позволяет трейдеру максимально быстро получать информацию о тех или иных изменениях на рынке, которые можно использовать для торговли. К примеру, если стоимость уверенно движется в каком-либо направлении, в определённый момент возникнет ситуация, при которой все участники уже откроют сделки в нужном направлении. Из-за отсутствия дополнительной поддержки показатель стоимости начнёт постепенно ослабевать или усиливаться (в зависимости от изначального направления цены).

Из-за отсутствия нужного количества ордеров определённой направленности, пользователи начнут постепенно выходить из рынка. Стоимость возобновит своё первоначальное движение. В момент, когда на рынке будет приблизительно равное количество покупателей и продавцов появится новый фрактальный паттерн. Исходя из того, куда он направляется, можно будет открывать одер на разворот стоимости или же в сторону движения текущей тенденции.

Фракталы. Красота Природы

Принцип фрактальности заложен в устройстве самой Природы, где из одного семени или из одной клетки путём многократного дробления создаётся новая структура, похожая, но не идентичная первоначальной.

Природа создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с безупречной геометрией и идеальной гармонией. Природа сама создана из самоподобных фигур, просто мы этого не замечаем.

Человек тоже весь построен на основе фракталов: кровеносные сосуды, лёгкие, бронхи имеют фрактальную природу. Посмотрите через увеличительное стекло на свою кожу, и вы увидите фракталы.

Примеров фракталов можно привести массу, потому что, они окружают нас повсюду. Самыми интересными, простыми и популярными фрактальными свойствами в природе обладают — кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная система человека и животных, кристаллы, снежинки, горные хребты, берега рек, морозные узоры на стекле, многие растения и морские раковины…

Галактика и Вселенные тоже фракталы и обладают свойством самоподобия. Например, Планеты объединяются в Планетарные Системы, Планетарные Системы — в Галактики, Галактики — в Кластеры, Кластеры — в Суперкластеры и так далее до бесконечности. Вселенная складывается, как матрёшка, и все её составные части выглядят примерно так же.

Человек — это фрактал Вселенной — микрокосмос, разумная клетка Вселенной, которая способна включиться в активную работу, используя свои уникальные данные, записанные во фрактальной структуре человеческой ДНК.

Всё, что окружает нас, ближний и дальний Космос, являются фракталом. Мы с вами тоже. Бесконечное самоподобие. И если понять принцип фрактальности — открывается огромнейший горизонт для нового взгляда на мир и на место человека в нём.

Алгебраические фракталы

Эта группа фракталов строится на основе алгебраических формул, зачастую очень простых . Различают линейные и нелинейные алгебраические фракталы. Первые определяются линейными функциями (уравнениями первого порядка), а вторые – нелинейными (их природа значительно ярче, богаче и разнообразнее).

В общем виде фракталы данного класса могут быть получены на основе рассмотрения некоторых нелинейных процессов в n-мерных пространствах (в настоящее время наиболее изучены лишь двухмерные процессы). В связи с этим любой рассматриваемый нелинейный итерационный процесс может интерпретироваться как дискретная динамическая система.

Как известно (из синергетических представлений), нелинейные динамические системы могут иметь несколько устойчивых состояний. При этом состояние, в котором оказалась динамическая система после определенного конечного числа итераций, напрямую зависит от ее начального состояния. А это значит, что изучаемая система может рассматриваться в некотором фазовом пространстве, в котором будут присутствовать области притяжения (аттракторы). Рассматривая двумерное фазовое пространство и окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет любой системы. Применение различных алгоритмов выбора цвета позволяет получить достаточно сложные фрактальные картины с удивительными многоцветными узорами.

Классическим примером алгебраических фракталов является множество Мандельброта, описанное еще в 1905 г. французским математиком Пьером Фату и впервые построенное Мандельбротом в 1980 г. Алгоритм построения множества Мандельброта использует единственную простую итерационную формулу:

,

где z и c – комплексные величины, i – номер итерации.

В результате многократных итераций на плоскости образуется множество точек, выстраивающихся в сложной закономерности (рис. 10).

Доказано, что все точки, составляющие множество Мандельброта, целиком расположены внутри круга радиуса 2 на плоскости с центром в точке (0, 0). На практике при построении множества Мандельброта принято считать, что если для некоторой точки А последовательность итераций функции после некоторого их числа N (например, превышающих 100) не вышла за пределы этого круга, то точка принадлежит множеству и красится в черный цвет. Если же на какой-то итерации, меньшей N, элемент последовательности, определяемый на основе (1) по модулю стал больше 2, то он считается не относящимся к множеству. Основываясь на таком правиле, можно получить черно-белое изображение множества Мандельброта.

Рис. 10. Множество Мандельброта

Однако черно-белое множество не так привлекательно, поэтому в настоящее время принято отображать множества в цвете. Для этого можно, например, каждую точку не из множества красить в цвет, соответствующий номеру итерации, на котором ее последовательность выходит за пределы круга. Так, на рис. 10 при отображении множества Мандельброта применен наиболее распространенный способ построения цветного изображения множества, при котором точки, принадлежащие множеству, окрашиваются в черный цвет, а не принадлежащие множеству окрашиваются в цвет, соответствующий количеству итераций, за которое точка покидает окружность (построение выполнено в программе Fractal Explorer 2.02). Точки на границе множества, где возникают сложные структуры, уходят в бесконечность за конечное число итераций (аттрактор такой динамической системы находится в бесконечности).

К наиболее известным алгебраическим фракталам также относятся множества Жюлиа (рис. 11 – построение выполнено в программе Graphic v4.2007, рис. 12 – построение выполнено в программе Фракталы) и Бассейны Ньютона (рис. 13, построение выполнено в программе Fractal Explorer 2.02, рис. 14 – построение выполнено в программе Ultra Fractal 5).

Семейство множеств Жюлиа строится по той же итерационной формуле, что и множество Мандельброта, однако в качестве комплексной переменной используется лишь параметр c. Если в качестве значений комплексной переменной c использовать координаты точек, принадлежащих множеству Мандельброта, то множество Жюлиа при построении будет замкнутым.

Рис. 11. Множество Жюлиа (1)

Рис. 12. Множество Жюлиа (2)

Рис. 13. Бассейны Ньютона (1)

Рис. 14. Бассейны Ньютона (2)

Жюлиа – Мандельброт

Одним из первых рисунков этой фигуры была графическая интерпретация множества, которая родилась благодаря работам Гастона Жюлиа и была доработана Мандельбротом. Гастон пытался представить, как выглядит множество, построенное на базе простой формулы, которая проитерирована циклом обратной связи. Попробуем сказанное объяснить человеческим языком, так сказать, на пальцах. Для конкретного числового значения с помощью формулы находим новое значение. Подставляем его в формулу и находим следующее. В результате получается большая числовая последовательность. Для представления такого множества требуется проделать эту операцию огромное количество раз: сотни, тысячи, миллионы. Это и проделал Бенуа. Он обработал последовательность и перенес результаты в графическую форму. Впоследствии он раскрасил полученную фигуру (каждый цвет соответствует определенному числу итераций). Данное графическое изображение получило имя «фрактал Мандельброта».

Литература

• Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
• Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. — М.: «Мир», 1993.
• Федер Е. (англ.)русск. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
• Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.
• Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
• Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
• Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.
• Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. — 400 с. — ISBN 5-8459-0922-8.
• Красивая жизнь комплексных чисел // Hard’n’Soft, № 9, 2002. Стр. 90.
• М. Г. Иванов, «Размер и размерность» // «Потенциал», август 2006.
• Липов А. Н. Фракталы. Памяти Бенуа Мандельброта // Философия и культура № 9 (33) 2010. № 8. С. 39-54.

Применение

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

Радиотехника

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику.

Коэн основал собственную компанию и наладил серийный выпуск своих антенн. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться.

Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность.

Информатика

Сжатие изображений

Фрактальное дерево

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Ещё одно фрактальное дерево

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Геометрические фракталы[править]

Кривая Коха

История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса — самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность.

В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая.
При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора.

Примерами таких кривых служат:

• кривая дракона;
• кривая Коха;
• кривая Леви;
• кривая Минковского;
• кривая Пеано.

К геометрическим фракталам также относят фракталы, получаемые похожими процедурами, например:

• множество Кантора;
• треугольник Серпиньского;
• коврик Серпиньского;
• кладбище Серпиньского;
• губка Менгера;
• дерево Пифагора.

Литература

• Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
• Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. — М.: «Мир», 1993.
• Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
• Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.
• Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
• Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
• Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.
• Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. — 400 с. — ISBN 5-8459-0922-8.
• Красивая жизнь комплексных чисел // Hard’n’Soft, № 9, 2002. Стр. 90.
• М. Г. Иванов, «Размер и размерность» // «Потенциал», август 2006.
• Липов А.Н. Фракталы. Памяти Бенуа Мандельброта // Философия и культура № 9 (33) 2010. № 8. С. 39-54.