Фаза колебаний

Примечания

ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий. ГОСТ даёт определение: «Фаза (синусоидального электрического) тока — аргумент синусоидального электрического тока, отсчитываемый от точки перехода значения тока через нуль к положительному значению»
Хотя нет принципиальной причины не сделать противоположный выбор, что иногда и делается некоторыми авторами.
Таким образом, обычно, в соответствии с этим соглашением начальная фаза колебания вида Asin⁡(ωt){\displaystyle A\sin(\omega t)} считается равной −π2{\displaystyle -\pi /2} (синус отстает от косинуса по фазе).
Хотя в части случаев с наложением условий на скорость изменения и т.п., несколько ограничивающих произвольность функции.
Существуют системы, формализм действия к которым применять неудобно и даже такие, к которым он по сути неприменим, однако в современном понимании такие системы делятся на два класса: 1) не фундаментальные (то есть описываемые неточно, и мыслится, что будучи описана более точно такая система может быть — в принципе — описана через действие), 2) относящиеся к далеко не общепризнанным теоретическим построениям.

Формула для фазы колебания или периодического сигнала

Фаза колебания или сигнала относится к синусоидальной функции, такой как следующая:

Икс(т)знак равноА⋅потому что⁡(2πжт+φ)у(т)знак равноА⋅грех⁡(2πжт+φ)знак равноА⋅потому что⁡(2πжт+φ-π2){\ Displaystyle {\ begin {выровнен} Икс (Т) & = А \ CDOT \ соз (2 \ пи ft + \ varphi) \\ y (t) & = A \ cdot \ sin (2 \ пи ft + \ varphi) = A \ cdot \ cos \ left (2 \ pi ft + \ varphi — {\ tfrac {\ pi} {2}} \ right) \ end {align}}}

где , и — постоянные параметры, называемые амплитудой , частотой и фазой синусоиды. Эти сигналы периодические с периодом , и они идентичны, за исключением смещения вдоль оси. Термин фаза может относиться к нескольким различным вещам А{\ displaystyle \ textstyle A}ж{\ displaystyle \ textstyle f}φ{\ displaystyle \ textstyle \ varphi}Тзнак равно1ж{\ displaystyle \ textstyle T = {\ frac {1} {f}}}Т4{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {T} {4}}}т{\ displaystyle \ textstyle t}

Это может относиться к указанной ссылке, таким как , в этом случае мы будем говорить о фазе на это , и фазе в это .потому что⁡(2πжт){\ displaystyle \ textstyle \ cos (2 \ pi ft)}Икс(т){\ Displaystyle \ textstyle х (т)}φ{\ displaystyle \ textstyle \ varphi}у(т){\ Displaystyle \ textstyle у (т)}φ-π2{\ displaystyle \ textstyle \ varphi — {\ frac {\ pi} {2}}}
Он может относиться к , и в этом случае мы бы сказали, что это одна и та же фаза, но относительно их собственных конкретных ссылок.φ{\ displaystyle \ textstyle \ varphi}Икс(т){\ Displaystyle \ textstyle х (т)}у(т){\ Displaystyle \ textstyle у (т)}
В контексте сигналов связи изменяющийся во времени угол или его главное значение упоминается как мгновенная фаза , часто просто фаза .2πжт+φ{\ displaystyle \ textstyle 2 \ pi ft + \ varphi}

Связанные термины

Рассматривая два колебательных процесса одинаковой частоты, говорят о постоянной разности полных фаз (о сдвиге фаз) этих процессов. В общем случае сдвиг фаз может меняться во времени, например, из-за угловой модуляции одного или обоих процессов.

Если два колебательных процесса происходят одновременно (например, колеблющиеся величины достигают максимума в один и тот же момент времени), то говорят, что они находятся в фазе (колебания синфазны). Если моменты максимума одного колебания совпадают с моментами минимума другого колебания, то говорят, что колебания находятся в противофазе (колебания противофазны). Если разность фаз составляет ±90°, то говорят, что колебания находятся в квадратуре или что одно из этих колебаний — квадратурное по отношению к другому колебанию (опорному, «синфазному», т.е. служащему для условного определения начальной фазы).

Если амплитуды двух противофазных монохроматических колебательных процессов одинаковы, то при сложении таких колебаний (при их интерференции) в линейной среде происходит взаимное уничтожение колебательных процессов.

Начальная фаза. Сдвиг фаз

В начальный момент времени t = 0 фаза

φ = ωt + φ (1.6.1)

имеет значение φ. Это значение фазы называется начальной фазой.

Два или несколько гармонических колебаний с одинаковыми частотами и амплитудами могут отличаться друг от друга только начальными фазами. Между колебаниями имеется разность фаз, или, как часто говорят, сдвиг фаз φ_с. Если начальная фаза первого колебания равна φ₀₁, а второго φ₀₂, то сдвиг фаз второго колебания относительно первого равен:

φ_c = φ₀₂ — φ₀₁. (1.6.2)

На рисунке 1.10 изображены графики колебаний, сдвинутых по фазе на . График 1 соответствует колебаниям, совершающимся по синусоидальному закону с начальной фазой, равной нулю (φ₀₁ = 0):

x₁ = х_m sin ωt

График 2 соответствует колебаниям, сдвинутым по фазе на :

Начальная фаза этих колебаний

Так как то

x₂ = x_m cos ωt.

Таким образом, колебания, описываемые синусом и косинусом, представляют собой колебания со сдвигом фаз .

Связанные термины

Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания являются незатухающими. Поэтому необходимо восполнять потери энергии за каждый период колебаний. Для этого необходимо воздействовать на колеблющееся тело периодически изменяющейся силой. Вынужденные колебания совершаются с частотой, равной частоте изменения внешней силы.

Вынужденные колебания

Амплитуда вынужденных механических колебаний достигает наибольшего значения в том случае, если частота вынуждающей силы совпадает с частотой колебательной системы. Это явление называется резонансом.

Например, если периодически дергать шнур в такт его собственным колебаниям, то мы заметим увеличение амплитуды его колебаний.

Свободные колебания (математический и пружинный маятники)

Свободные колебания – колебания, которые совершает тело под действием внутренних сил системы за счет начального запаса энергии после того как его вывели из положения устойчивого равновесия.

Условия возникновения свободных колебаний:

при выведении тела из положения равновесия должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия;
силы трения в системе должны быть достаточно малы. При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.

При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.
Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.

Период колебаний математического маятника:

Частота колебаний математического маятника:

Циклическая частота колебаний математического маятника:

Максимальное значение скорости колебаний математического маятника:

Максимальное значение ускорения колебаний математического маятника:

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вверх с ускорением или вниз с замедлением:

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вниз с ускорением или вверх с замедлением:

Период свободных колебаний математического маятника, горизонтально с ускорением или замедлением:

Мгновенное значение потенциальной энергии математического маятника, поднявшегося в процессе колебаний на высоту \( h \), определяется по формуле:

где \( l \) – длина нити, \( \alpha \) – угол отклонения от вертикали.

Пружинный маятник – это тело, подвешенное на пружине и совершающее колебания вдоль вертикальной или горизонтальной оси под действием силы упругости пружины.

Период колебаний пружинного маятника:

Частота колебаний пружинного маятника:

Циклическая частота колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение скорости колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение ускорения колебаний пружинного маятника:

Мгновенную потенциальную энергию пружинного маятника можно найти по формуле:

Амплитуда потенциальной энергии – максимальное значение потенциальной энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Важно!
Если маятник не является ни пружинным, ни математическим (физический маятник), то его циклическую частоту, период и частоту колебаний по формулам, применимым к математическому и пружинному маятнику, рассчитать нельзя. В данном случае эти величины рассчитываются из формулы силы, действующей на маятник, или из формул энергий

Физика

Фаза колебаний

При заданной амплитуде гармонических колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом синуса или косинуса, равным φ = ωt + φ .

Величину φ, стоящую под знаком синуса или косинуса, называют фазой* колебаний, описываемых этими функциями. Выражается фаза в угловых единицах — радианах или градусах.

Фаза определяет не только координаты, но и другие физические величины, например скорости и ускорения, изменяющиеся по гармоническому закону.

Начальная фаза. Сдвиг фаз

В начальный момент времени t = 0 фаза

имеет значение φ. Это значение фазы называется начальной фазой.

Два или несколько гармонических колебаний с одинаковыми частотами и амплитудами могут отличаться друг от друга только начальными фазами. Между колебаниями имеется разность фаз, или, как часто говорят, сдвиг фаз φ_с. Если начальная фаза первого колебания равна φ₀₁, а второго φ₀₂. то сдвиг фаз второго колебания относительно первого равен:

φ_с = φ₀₁ + φ₀₂ (1.6.2)

На рисунке 1.10 изображены графики колебаний, сдвинутых по фазе на .

Рис. 1.10

График 1 соответствует колебаниям, совершающимся по синусоидальному закону с начальной фазой, равной нулю (φ₀₁ = 0):

График 2 соответствует колебаниям, сдвинутым по фазе на :

Начальная фаза этих колебаний φ₀₂ = .

Так как

то

Таким образом, колебания, описываемые синусом и косинусом, представляют собой колебания со сдвигом фаз .

Определение амплитуды и начальной фазы из начальных условий

Уже упоминалось, что амплитуда и начальная фаза не определяются уравнением движения. Их значения зависят от начальной координаты х(0) = x и начальной скорости х'(0) = v.

Значения x и v определяются условиями возбуждения колебаний. Если вывести тело из положения равновесия и отпустить, не сообщая ему скорости, то х(0) = x, а х'(0) = 0. Напротив, если сообщить телу начальную скорость, толкнув его в положении равновесия, то х(0) = 0, а x'(0) = v.

Рассмотрим общий случай, когда при t = 0 х(0) ≠ 0 и х'(0) ≠ 0. Выбор решения в форме синуса или косинуса повлияет на начальную фазу, но не на амплитуду. Пусть решение уравнения (1.4.1) имеет вид:

Тогда

При t = 0

Согласно уравнениям (1.6.5)

Отсюда

Это выражение определяет начальную фазу φ. В частном случае, если x = 0, то tg φ = 0 и φ = 0. Если же v = 0, то tg φ = ∞ и φ = .

Возведя в квадрат оба уравнения (1.6.6) и сложив их левые и правые части, получим:

Отсюда амплитуда колебаний

При V = 0 x_m = x, а при x = 0 x_m = .

Если бы мы выразили решение не через синус, а через косинус, то амплитуда по-прежнему имела бы значение, определяемое формулой (1.6.9), а начальная фаза определялась бы уравнением

Получите это выражение самостоятельно и рассмотрите предельные случаи x = 0 и v = 0.

* От греческого слова phasis — появление, ступень развития какого-либо явления.

Примечания

ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий. ГОСТ даёт определение: «Фаза (синусоидального электрического) тока — аргумент синусоидального электрического тока, отсчитываемый от точки перехода значения тока через нуль к положительному значению»
Хотя нет принципиальной причины не сделать противоположный выбор, что иногда и делается некоторыми авторами.
Таким образом, обычно, в соответствии с этим соглашением начальная фаза колебания вида Asin⁡(ωt){\displaystyle A\sin(\omega t)} считается равной −π2{\displaystyle -\pi /2} (синус отстает от косинуса по фазе).
Хотя в части случаев с наложением условий на скорость изменения и т.п., несколько ограничивающих произвольность функции.
Существуют системы, формализм действия к которым применять неудобно и даже такие, к которым он по сути неприменим, однако в современном понимании такие системы делятся на два класса: 1) не фундаментальные (то есть описываемые неточно, и мыслится, что будучи описана более точно такая система может быть — в принципе — описана через действие), 2) относящиеся к далеко не общепризнанным теоретическим построениям.

Связанные термины

Примечания

ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий. ГОСТ даёт определение: «Фаза (синусоидального электрического) тока — аргумент синусоидального электрического тока, отсчитываемый от точки перехода значения тока через нуль к положительному значению»
Хотя нет принципиальной причины не сделать противоположный выбор, что иногда и делается некоторыми авторами.
Таким образом, обычно, в соответствии с этим соглашением начальная фаза колебания вида Asin⁡(ωt){\displaystyle A\sin(\omega t)} считается равной −π2{\displaystyle -\pi /2} (синус отстает от косинуса по фазе).
Хотя в части случаев с наложением условий на скорость изменения и т.п., несколько ограничивающих произвольность функции.
Существуют системы, формализм действия к которым применять неудобно и даже такие, к которым он по сути неприменим, однако в современном понимании такие системы делятся на два класса: 1) не фундаментальные (то есть описываемые неточно, и мыслится, что будучи описана более точно такая система может быть — в принципе — описана через действие), 2) относящиеся к далеко не общепризнанным теоретическим построениям.

Математическое определение

Позвольте быть периодическим сигналом (то есть функцией одной действительной переменной), и быть его периодом (то есть наименьшим положительным действительным числом, таким, что для всех ). Тогда фаза при любом аргументе равна
F{\ displaystyle F}Т{\ displaystyle T}F(т+Т)знак равноF(т){\ Displaystyle F (t + T) = F (t)}т{\ displaystyle t}F{\ displaystyle F} т{\ displaystyle t}

ϕ(т)знак равно2πт-тТ{\ displaystyle \ phi (t) = 2 \ pi \ left \! \! \ right]}

Здесь обозначает дробную часть действительного числа, отбрасывая его целую часть; то есть ,; и является произвольным «исходным» значением аргумента, которое считается началом цикла.
⋅{\ Displaystyle \!] \! \,}Иксзнак равноИкс-⌊Икс⌋{\ displaystyle \!] = x- \ left \ lfloor x \ right \ rfloor \! \,}т{\ displaystyle t_ {0}}

Эту концепцию можно визуализировать, представив часы со стрелкой, которая вращается с постоянной скоростью, совершает полный оборот каждую секунду и указывает прямо во времени . Фаза — это угол от положения 12:00 до текущего положения стрелки во времени , измеренный по часовой стрелке .
Т{\ displaystyle T}т{\ displaystyle t_ {0}}ϕ(т){\ Displaystyle \ phi (т)}т{\ displaystyle t}

Концепция фазы наиболее полезна, когда происхождение выбирается на основе характеристик . Например, для синусоиды удобный выбор — это любое место, где значение функции изменяется от нуля до положительного.
т{\ displaystyle t_ {0}}F{\ displaystyle F}т{\ displaystyle t}

Приведенная выше формула дает фазу как угол в радианах между 0 и . Чтобы получить фазу как угол между и , вместо этого используется
2π{\ displaystyle 2 \ pi}-π{\ displaystyle — \ pi}+π{\ displaystyle + \ pi}

ϕ(т)знак равно2π(т-тТ+12-12){\ displaystyle \ phi (t) = 2 \ pi \ left (\ left \! \! \ right] — {\ frac {1} {2}} \ right)}

Фаза, выраженная в градусах (от 0 ° до 360 ° или от -180 ° до + 180 °), определяется таким же образом, за исключением «360 °» вместо «2π».

Последствия

При любом из приведенных выше определений фаза периодического сигнала также является периодической с тем же периодом :
ϕ(т){\ Displaystyle \ phi (т)}Т{\ displaystyle T}

ϕ(т+Т)знак равноϕ(т){\ displaystyle \ phi (t + T) = \ phi (t) \ quad \ quad {}}для всех .т{\ displaystyle t}

Фаза равна нулю в начале каждого периода; то есть

ϕ(т+kТ)знак равно{\ displaystyle \ phi (t_ {0} + kT) = 0 \ quad \ quad {}}для любого целого числа .k{\ displaystyle k}

Более того, для любого заданного выбора источника значение сигнала для любого аргумента зависит только от его фазы при . А именно, можно написать , где есть функция угла, определяется только для одного полного оборота, который описывает изменение в диапазоне более чем одного периода.
т{\ displaystyle t_ {0}}F{\ displaystyle F}т{\ displaystyle t}т{\ displaystyle t}F(т)знак равнож(ϕ(т)){\ Displaystyle F (т) = е (\ фи (т))}ж{\ displaystyle f}F{\ displaystyle F}т{\ displaystyle t}

Фактически, каждый периодический сигнал с определенной формой волны может быть выражен как
F{\ displaystyle F}

F(т)знак равноАш(ϕ(т)){\ Displaystyle F (T) = A \, вес (\ phi (t))}

где — «каноническая» функция фазового угла в диапазоне от 0 до 2π, которая описывает только один цикл этой формы волны; и — коэффициент масштабирования для амплитуды. (Это утверждение предполагает, что время начала, выбранное для вычисления фазы, соответствует аргументу 0 из .)
ш{\ displaystyle w}А{\ displaystyle A}т{\ displaystyle t_ {0}}F{\ displaystyle F}ш{\ displaystyle w}

§ 7.1 Волны. Уравнение волны

Помимо уже
рассмотренных нами движений, почти во
всех областях физики встречается ещё
один тип движения – волны.
Отличительной особенностью этого
движения, делающей его уникальным,
является то, что в волне распространяются
не сами частицы вещества, а изменения
в их состоянии (возмущения).

Возмущения,
распространяющиеся в пространстве с
течением времени, называются волнами.
Волны бывают механические и электромагнитные.

Упругие волны
– это распространяющиеся возмущения
упругой среды.

Возмущение
упругой среды – это любое отклонение
частиц этой среды от положения равновесия.
Возмущения возникают в результате
деформации среды в каком-либо её месте.

Совокупность
всех точек, куда дошла волна в данный
момент времени, образует поверхность,
называемую
фронтом
волны.

По форме фронта
волны делятся на сферические и плоские.
Направление распространения
фронта волны определяется
перпендикуляром к фронту волны, называемым
лучом.
Для сферической волны лучи представляют
собой радиально расходящийся пучок.
Для плоской волны лучи- пучок параллельных
прямых.

В любой механической
волне одновременно существуют два вида
движения: колебания частиц среды и
распространения возмущения.

Волна, в которой
колебания частиц среды и распространение
возмущения происходят в одном направлении,
называется продольной
(рис.7.2 а).

Волна, в которой
частицы среды колеблются перпендикулярно
направлению распространения возмущений,
называется поперечной(рис. 7.2 б).

В продольной волне
возмущения представляют собой сжатие
(или разрежение) среды, а в поперечной
— смещения (сдвига) одних слоев среды
относительно других. Продольные волны
могут распространяться во всех средах
(и в жидких, и в твёрдых, и в газообразных),
а поперечные — только в твёрдых.

Каждая волна
распространяется с некоторой скоростью.
Под скоростью
волныυ
понимают
скорость распространения возмущения.
Скорость волны определяется свойствами
среды, в которой эта волна распространяется.
В твёрдых телах скорость продольных
волн больше скорости поперечных.

Длиной волны
λ называется расстояние, на которое
распространяется волна за время, равное
периоду колебания в её источнике.
Поскольку скорость волны – величина
постоянная (для данной среды), то
пройденной волной расстояние равно
произведению скорости на время её
распространения. Таким образом, длина
волны

λ=
υТ (7. 1)

Из уравнения (7.1)
следует, что частицы, отделённые друг
от друга интервалом λ, колеблются в
одинаковой фазе. Тогда можно дать
следующее определение длины волны:
длина волны есть расстояние между двумя
ближайшими точками, колеблющимися в
одинаковой фазе.

Выведем уравнение
плоской волны, позволяющее определить
смещение любой точки волны в любой
момент времени. Пусть волна распространяется
вдоль луча от источника с некоторой
скоростью υ.

Источник возбуждает
простые гармонические колебания, и
смещение любой точки волны в любой
момент времени определяетcz
уравнением

S
= Asinωt
(7. 2)

Тогда точка среды,
отстоящая от источника волны на расстоянии
х, также будет совершать гармонические
колебания, но с запаздыванием по времени
на величину
,
т.е. на время, необходимое для распространения
колебаний от источника до этой точки.
Смещение колеблющейся точки относительно
положения равновесия в любой момент
времени будет описываться соотношением

(7.
3)

Это и есть уравнение
плоской волны. Эта волна, характеризуется
следующими параметрами:

S
— смещение от положения равновесии
точки упругой среды, до которой дошло
колебание;
ω
— циклическая частота колебаний,
генерируемых источником, с которой
колеблются и точки среды;
υ — скорость
распространения волны (фазовая скорость);
х – расстояние
до той точки среды, куда дошло колебание
и смещение которой равно S;
t
– время отсчитываемое от начала
колебаний;