Эквипотенциальные линии

Электрическое поле в диэлектриках. Введение

Свободные заряды,
имеющиеся в любом проводнике, перемещаются
под действием внешнего электрического
поля и спустя очень малый промежуток
времени создают поле, полностью
компенсирующее внешнее. Поэтому
напряженность электрического поля
внутри проводника (при отсутствии тока)
равна нулю.

Термин “диэлектрики”
был введен Фарадеем. Диэлектриком
является любая среда (газ, жидкость или
твердое тело), в которой длительное
время может существовать электрическое
поле. В отличие от проводников в
диэлектриках отсутствуют свободные
электрические заряды. Т.е. диэлектриками
называют тела в которых заряды не могут
перемещаться из одной части в другую.

Потенциал электрического поля

Поскольку со стороны электрического поля на заряд действует сила, при перемещении заряда полем совершается некоторая работа (положительная, если заряд перемещается по направлению вектора силы, и отрицательная в противоположном случае). Следовательно, электрическое поле обладает некоторой потенциальной энергией.

Сила, действующая на заряд, пропорциональна этому заряду. А значит, потенциальная энергия поля также будет пропорциональна ему. Коэффициент пропорциональности, равный отношению потенциальной энергии поля к величине заряда, является энергетической характеристикой данного поля, и называется потенциалом:

$$\varphi ={W_{потенц}\over q}$$

Отметим, что потенциал пропорционален напряженности электрического поля, и численно равен работе, которая совершается, при удалении единичного заряда из этого поля (перемещения на бесконечное расстояние).

Эквипотенциальная поверхность

Эквипотенциальные поверхности для такого распределения зарядов показаны на рис. I ( в конце этого тома) для е и ег одного знака и на рис. II для зарядов противоположного знака. Рассмотрим теперь ту поверхность, на которой V0 и которая является единственной сферической поверхностью в системе.

Эквипотенциальная поверхность, для которой ф — 2 В, расположена внутри цилиндра и является цилиндрической поверхностью радиусом гт.

Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны к вектору напряженности поля. Следовательно, они повернутся и займут положение, изображенное на рис. 79.2 пунктиром.

Разделение потока точечного заряда на равные конические группы.

Эквипотенциальные поверхности на очень больших расстояниях от обоих зарядов будут близки к сферам, центрированным в точке О По мере приближения к зарядам фирма эквипотенциальных поверхностей начинает усложняться, принимая сперва очертание л ( рис 4 — 8 а), напоминающее поверхность эллипсоида. Затем появляется впадина у плоскости симметрии ГУ.

К расчету электростатического поля равномерно заряженного кольца.

Эквипотенциальные поверхности должны удовлетворять уравнению TI rz const. Оно является уравнением эллипса. Поскольку все поле имеет осевую симметрию, приходим к выводу, что эквипотенциальными поверхностями будут конфокальные эллипсоиды; фокусы последних расположены по концам заряженной оси. Линии поля всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям, в данном случае они будут конфокальными гиперболами. Нормаль к эллипсу в какой-либо точке т делит пополам угол между радиус-векторами, проведенными из фокусов в данную точку.

Электрическое поле двухпроводной линии.

Эквипотенциальные поверхности, проходящие через генератор, подходят к проводам или к нагрузке под углом и тут резко меняют направление, замыкаясь через последние.

Вид сечений эквипотенциальных поверхностей одиночной вращающейся звезды плоскостью, проходящей через ось вращении. Критическая эквипотенплаль выделена полужирной линией, о — центр масс звезд.| Вид сечений эквипотенциальных поверхностей в двойной.

Эквипотенциальные поверхности, Ф С, при больших значениях модуля С ( С CJ состоят из окружающих каждую массу почти концепт рич, сфер и одной внеш.

Эквипотенциальные поверхности всегда перпендикулярны векторам скорости. Векторы же скорости каса-тельны к линиям тока, и поэтому эквипотенциальные поверхности и линии тока будут взаимно перпендикулярны.

Картина поля положительного заряда, а — на плоскости хог. б — в пространстве. / — силовые линии. 2 — поверхности равных потенциалов.

Эквипотенциальные поверхности не пересекаются, так как в противном случае одна и та же линия пересечения эквипотенциальных поверхностей имела бы разные потенциалы.

Эквипотенциальные поверхности вблизи оси имеют форму гиперболоидов вращения и пересечение их с меридианными плоскостями форму гипербол.

Непрерывный заряд

Если заряды расположены на двух проводящих пластинах в условиях статического баланса, где заряды не прерываются и находятся на прямой, то и эквипотенциальные линии выпрямляются. Дело в том, что непрерывность зарядов вызывает непрерывные действия в любой точке.

Если заряды вытягиваются в линию и лишены прерывания, то эквипотенциальные линии идут прямо перед ними. В качестве исключения можно вспомнить только изгиб возле краев проводящих пластин

Непрерывность нарушается ближе к концам пластин, из-за чего на этих участках создается кривизна – краевой эффект.


Обзор	Связь между электрическим потенциалом и полем Электрическая потенциальная энергия и потенциальная разница Электрическое поле и изменение электрического потенциала Потенциалы и заряженные проводники Равномерное электрическое поле Энергосбережение Электронвольт Дипольные моменты
Эквипотенциальные поверхности и линии	Идеальные проводники Электрический потенциал человека Эквипотенциальные линии
Зарядка	Электрический потенциал в точечном заряде Суперпозиция электрического потенциала
Конденсаторы и диэлектрики	Емкость Конденсаторы с диэлектриками Конденсатор с параллельными пластинами Комбинации конденсаторов: последовательные и параллельные Диэлектрики и их пробои
Приложение

Термины

Потенциальная энергия – энергия объекта в его положении или состоянии.
Кинетическая энергия – энергия в движении. Приравнивается к половине массы объекта и квадрату скорости.

Потенциальная энергетическая кривая отображает потенциальную энергию в виде позиции объекта. Например, мы располагаем замкнутой системой, где полная энергия остается стабильной. То есть, кинетическая и потенциальная всегда должны быть равными. Стоит отметить, что потенциальная энергия вырастает с падением кинетической и наоборот. Кривая потенциальной энергии приносит огромную пользу, так как мы можем быстро вычислить потенциальную энергию в конкретной позиции.

Здесь отображена потенциальная энергия частицы в виде функции положения. Кинетическая сокращена до К

Эквипотенциальные линии приравниваются по значению к потенциальной энергии. Если провести прямую горизонтальную линию сквозь центральную точку, то получите эквипотенциальную линию. В ней электрический потенциал остается постоянным.

Перед вами электрическое поле (синее) и эквипотенциальные линии (зеленые) для двух равных и противоположных зарядов

Посмотрим на физическую сторону объяснения. Уравнения потенциала точечного заряда выглядит как V = kQ/r, где V – потенциал, k – постоянная (8.99 х 109), Q – величина точечного заряда, а r – дистанция от заряда. У каждой точки на одной дистанции будет одинаковая электрическая потенциальная энергия. Если вы нарисуете круг вокруг заряда, то каждая точка будет располагать одной и той же потенциальной энергией.

Работа (W) выступает мерой измерения потенциальной энергии (ΔPE): W = -ΔPE. Потенциальная энергия не испытывает перемен вдоль эквипотенциальной линии, поэтому нет необходимости в выполнении работы, чтобы смещаться. Но, если вы хотите перейти от одной линии к другой, тогда без работы не обойтись. Когда сила выступает перпендикулярной движению, работа приравнивается к нулю. Верхние изображения показывают силу, возникшую из-за того, что электрическое поле расположено в том же направлении, что и само поле. Запомните: эквипотенциальные линии обязаны располагаться перпендикулярно электрическому полю.


Введение
Работа, выполняемая постоянной силой	Сила в направлении перемещения Сила в угловом смещении
Работа, выполняемая переменными силами
Теорема Работа-Энергия
Потенциальная энергия и сохранение энергии	Консервативные и неконсервативные силы Что такое потенциальная энергия? Сила тяжести Пружины Сохранение механической энергии Решение проблем с сохранением энергии Решение проблем с диссипативными силами
Мощность	Что такое мощность? Люди: работа, энергия и сила
ПРИМЕР ИССЛЕДОВАНИЯ: Мировое энергопотребление
Дальнейшие темы	Другие формы энергии Энергетическая трансформация Потенциальные энергетические кривые и эквипотенциалы

Семейство — эквипотенциальная поверхность

Семейство эквипотенциальных поверхностей ортогонально к семейству линий напряженности.

Такое семейство эквипотенциальных поверхностей встречается в нескольких физических задачах.

В пространстве напряжений семейство эквипотенциальных поверхностей И const С представляет собой совокупность поверхностей, перемещающихся и изменяющих свои конфигурации в процессе деформирования. Причем для каждой поверхности вектор скорости деформации ползучести направлен по нормали к ней и имеет некоторую постоянную величину.

ПО) определяет семейство эквипотенциальных поверхностей.

Ускоряющая линза из двух цилиндров.| Ускоряющая линза.

Форма поля характеризуется семейством эквипотенциальных поверхностей, в данном случае — поверхностей тел вращения с различной кривизной, симметричных относительно оси линзы. Лишь средняя эквипотенциальная поверхность представляет собой плоскость.

В самом деле, основной физический образ теории Поляни — семейство эквипотенциальных поверхностей, приблизительно параллельных друг другу и поверхности адсорбента, очевидно, эквивалентен представлению о послойном механизме заполнения адсорбционного объема.

Если условиться строить поверхности равного потенциала со значениями, отличающимися друг от друга на одну и ту же величину Аф, то семейство эквипотенциальных поверхностей будет наглядно характеризовать свойства поля: чем ближе друг к другу поверхности, тем больше модуль напряженности поля. При этом вектор напряженности направлен по нормали в сторону убывания потенциала.

В § 1 было показано, что вращением семейства ортогональных кривых, представляющего поперечное сечение двухмерного поля, нельзя, вообще говоря, получить семейство трехмерных эквипотенциальных поверхностей. Однако таким образом можно получить семейство поверхностей, которые вместе с плоскостями, пересекающимися вдоль оси вращения и характеризуемыми азимутальным углом, образуют систему ортогональных криволинейных координат; последнюю можно изучить при помощи метода, изложенного в § 4 гл. Если меридианалыюе сечение поставленной трехмерной краевой задачи образует двухмерную границу, для которой решение можно получить при помощи конформного преобразования, то существует метод, позволяющий построить такую систему координат, в которой первоначальные краевые условия имеют весьма простой лид. Задача, таким образом, заключается в нахождении общего решения уравнения Лапласа в такой системе координат.

При концентрическом расположении проводов согласно выражениям ( 4 — 5 — 10) d0i do2 — — и емкость определяется формулой ( 4 — 5 — 5) для цилиндрического конденсатора. Емкость конденсаторов со сложной формой проводников можно определять методом конформного отображения, основанным на теории функций комплексного переменного ( § Д-5), если поле конденсатора плоское. Следовательно, функции Х и Х2 представляют собой потенциалы плоского электростатического поля. Так как кривые Xi ( xi, 2) — const и X2 ( xi, x2) const ортогональны, то если первые представляют семейство эквипотенциальных поверхностей, то вторые силовые линии или наоборот. Аналитическая функция w ( z) называется комплексным потенциалом. Пусть Xi ( xi, x2) представляет потенциал плоского поля.

Эквипотенциальная поверхность

Если рассмотреть поле, создаваемое точечным зарядом, то его напряженность падает по мере удаления от заряда в любом направлении. Следовательно, по мере удаления происходит и уменьшение потенциала поля. При этом в пространстве вокруг заряда можно указать ряд точек, обладающих одинаковым потенциалом.

Напомним, что точки, равноудаленные от некоторой заданной, образуют сферу. А значит, точки вокруг точечного заряда, обладающие одним и тем же потенциалом, также будут образовывать сферу с центром, лежащим в точечном заряде

Важное свойство этой сферы – при перемещении заряда по ней работа поля равна нулю, поскольку потенциальная энергия во всех точках этой поверхности одинакова. Нулевая работа перемещения также следует из того факта, что вектор напряженности перпендикулярен этой сфере (а значит, и направлению перемещения)

Поверхность, образованная точками с одним потенциалом, называется эквипотенциальной. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности всегда взаимно перпендикулярны, а значит, работа поля по перемещению заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю. Плотность расположения эквипотенциальных поверхностей характеризует скорость изменения потенциала в данной области. Чем гуще расположены эквипотенциальные поверхности, тем быстрее меняется потенциал при движении перпендикулярно им.

Рис. 1. Эквипотенциальные поверхности точечного заряда.

Для однородного поля, например, созданного двумя заряженными пластинами, эквипотенциальные поверхности представляют собой плоскости, параллельные пластинам. И в этом случае также перемещение заряда по любой поверхности равного потенциала происходит перпендикулярно вектору напряженности, а значит работа поля по перемещению равна нулю.

Рис. 2. Эквипотенциальные поверхности однородного поля.

Для поля, образованного несколькими зарядами, эквипотенциальные поверхности имеют более сложную конфигурацию, однако, и в этом случае линии напряженности перпендикулярны этим поверхностям. Например, эквипотенциальные поверхности диполя выглядят следующим образом:

Рис. 3. Эквипотенциальные поверхности диполя.

Отметим еще одно интересное свойство эквипотенциальных поверхностей – они могут располагаться плотнее и реже, но никогда не пересекаются.

Что мы узнали?

Потенциал электрического поля пропорционален его напряженности, и численно равен работе, которая совершается, при удалении единичного заряда из этого поля. Точки, в которых потенциал одинаков, образуют поверхность, называемую эквипотенциальной. При перемещении заряда вдоль этой поверхности работа поля равна нулю.

Тест по теме

Вопрос 1 из 5

Потенциал электрического поля равен…
- $\varphi ={r \over q}$
- $\varphi ={W_{потенц}\over q}$
- $\varphi ={W_{потенц}^2 q}$
- $\varphi ={q \over W_{потенц}}$

Начать тест(новая вкладка)

Потенциал электрического поля. Разность потенциалов

Потенциал – скалярная физическая величина, равная отношению потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле к величине этого заряда.

Обозначение – $ \varphi $, единица измерения в СИ – вольт (В).

Потенциал $ \varphi $ является энергетической характеристикой электростатического поля.

Разность потенциалов численно равна работе, которую совершает электрическая сила при перемещении единичного положительного заряда между двумя точками поля:

Обозначение – $ \Delta\varphi $, единица измерения в СИ – вольт (В).

Иногда разность потенциалов обозначают буквой $ U $ и называют напряжением.

Важно!
Разность потенциалов $ \Delta\varphi=\varphi_1-\varphi_2 $, а не изменение потенциала $ \Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1 $. Тогда работа электростатического поля равна:

Важно!
Эта формула позволяет вычислить работу электростатических сил в любом поле. В электростатике часто вычисляют потенциал относительно бесконечно удаленной точки

В этом случае потенциал поля в данной точке равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность

В электростатике часто вычисляют потенциал относительно бесконечно удаленной точки. В этом случае потенциал поля в данной точке равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Потенциал поля точечного заряда $ q $ в точке, удаленной от него на расстояние $ r $, вычисляется по формуле:

Для наглядного представления электрического поля используют эквипотенциальные поверхности.

Важно!
Внутри проводящего шара потенциал всех точек внутри шара равен потенциалу поверхности шара и вычисляется по формуле потенциала точечного заряда ($ r =R $, где $ R $ – радиус шара). Напряженность поля внутри шара равна нулю

Эквипотенциальной поверхностью, или поверхностью равного потенциала, называется поверхность, во всех точках которой потенциал имеет одинаковое значение.

Свойства эквипотенциальных поверхностей

Вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и направлен в сторону убывания потенциала.
Работа по перемещению заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю.

В случае однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему параллельных плоскостей. Для точечного заряда эквипотенциальные поверхности представляют собой концентрические окружности.

Разность потенциалов и напряженность связаны формулой:

Из принципа суперпозиции полей следует принцип суперпозиции потенциалов:

Потенциал результирующего поля равен сумме потенциалов полей отдельных зарядов.

Важно!
Потенциалы складываются алгебраически, а напряженности – по правилу сложения векторов. Решение задач о точечных зарядах и системах, сводящихся к ним, основано на применении законов сохранения, теоремы об изменении кинетической энергии заряда с учетом работы электростатических сил

Решение задач о точечных зарядах и системах, сводящихся к ним, основано на применении законов сохранения, теоремы об изменении кинетической энергии заряда с учетом работы электростатических сил.

Алгоритм решения таких задач:

установить характер и особенности электростатических взаимодействий объектов системы;
ввести характеристики (силовые и энергетические) этих взаимодействий, сделать рисунок;
записать законы сохранения и движения для объектов;
выразить энергию электростатического взаимодействия через заряды, потенциалы, напряженности;
составить систему уравнений и решить ее относительно искомой величины;
проверить решение.

Термины

Эквипотенциальный – участок, где каждая точка обладает единым потенциалом.
Статическое равновесие – физическое состояние, где все компоненты пребывают в покое, а чистая сила приравнивается к нулю.

Эквипотенциальные линии отображают одномерные участки, где электрический потенциал остается неизменным. То есть, для такого заряда (где бы он ни находился на эквипотенциальной линии) не нужно осуществлять работу, чтобы сдвинуться с одной точки на другую в пределах конкретной линии.

Линии эквипотенциальной поверхности бывают прямыми, изогнутыми или неправильными. Все это основывается на распределении зарядов. Они располагаются радиально вокруг заряженного тела, поэтому остаются перпендикулярными к линиям электрического поля.

13.14. Связь между напряженностью и потенциалом

Из выше сказанного
следует, что электрическое поле
характеризуется двумя физическими
величинами: напряженностью (силовая
характеристика) и потенциалом
(энергетическая характеристика). Выясним
как они связаны между собой. Пусть
положительный заряд q перемещается
силой электрического поля с эквипотенциальной
поверхности, имеющей потенциал ,
на близко расположенную эквипотенциальную
поверхность, имеющую потенциал (рис.
13.16).

Напряженность поля
Е на всем малом пути dx можно считать
постоянной. Тогда работа перемещения С
другой стороны .
Из этих уравнений получаем

(13.22)

Знак минус обусловлен
тем, что напряженность поля направлена
в сторону убывания потенциала, тогда
как градиент потенциала направлен в
сторону возрастания потенциала.

Эквипотенциальная поверхность

Эквипотенциальные поверхности должны удовлетворять уравнению 2 const. Оно является уравнением эллипса. Поскольку все поле имеет осевую симметрию, приходим к выводу, что эквипотенциальными поверхностями будут конфокальные эллипсоиды; фокусы последних расположены по концам заряженной оси. Линии поля всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям, в данном случае они будут конфокальными гиперболами. Нормаль к эллипсу в какой-либо точке т делит пополам угол между радиус-векторами, проведенными из фокусов в данную точку.

Эквипотенциальные поверхности обладают еще одним интересным свойством.

Эквипотенциальные поверхности диполя при п 2.

Эквипотенциальные поверхности диполя имеют в его центре касательную гиперплоскость, перпендикулярную оси диполя, проходят через центр диполя, касаясь друг друга, но имеют в этой точке при п 2 уплощение, рис. 10.7. При четных п эквипотенциальные поверхности аналитические, включая и центр диполя. При нечетных п эквипотенциальные поверхности имеют в центре диполя такую же особенность, как график функции х п от п — 1 переменной.

Остальные эквипотенциальные поверхности проводятся так, чтобы разность потенциалов между любыми двумя соседними поверхностями была одна и та же.

Здесь эквипотенциальные поверхности П ( г) С — сферы с центром в начале координат, а силовые линии образуют пучок прямых, выходящих из начала координат.

Эквипотенциальные поверхности потенциальной энергии совпадают с эквипотенциальными поверхностями силовой функции. Поэтому потенциальную энергию можно определить как работу, которую выполнили бы силы поля, приложенные к материальной точке при ее перемещении из некоторой эквипотенциальной поверхности на нулевую.

Эквипотенциальные поверхности электростатических плоских полей являются цилиндрами с образующими, параллельными оси ОХ. Поскольку аналогом преломляющих поверхностей световой оптики в электронной оптике являются эквипотенциальные поверхности электрического поля, прохождение электронного пучка в плоском поле аналогично прохождению света сквозь цилиндрическую линзу. На основе этой аналогии электронно-оптические системы, образованные плоскими полями, получили название цилиндрических электронных линз.

Эквипотенциальной поверхностью называется такая поверхность в электрическом поле, все точки которой имеют одинаковый потенциал.

Эквипотенциальной поверхностью является цилиндрическая поверхность радиусом А 5 см и осью, совпадающей с осью провода.

Эквипотенциальной поверхностью называется поверхность, у которой разность потенциалов между двумя любыми точками равна нулю. Абсолютное значение напряженности электрического поля Е выражается через градиент потенциала.

Эквипотенциальными поверхностями являются окружности радиуса г const. В трехмерной задаче такой потенциал создается заряженной прямой, расположенной вдоль оси Ог. Уравнение параболы в параметрическом виде х ар2 — а, у 2ар, где р изменяется от — со до оо.

Эквипотенциальной поверхностью ( поверхностью уровня) назы.

Эквипотенциальной поверхностью называется геометрическое место точек в электростатическом поле, имеющих одинаковый потенциал. В любой точке эквипотенциальной поверхности вектор напряженности электростатического поля перпендикулярен к ней и направлен в сторону убывания потенциала.

Эквипотенциальной поверхностью является цилиндрическая поверхность радиусом л 5 см и осью, совпадающейс осью провода.