Экстраполяция

Быстро

Экстраполированные данные часто свертываются в функцию ядра. После экстраполяции данных размер данных увеличивается в N раз, здесь N составляет примерно 2–3. Если эти данные необходимо преобразовать в известную функцию ядра, численные вычисления увеличатся в N log (N) раз даже при использовании быстрого преобразования Фурье (БПФ). Есть алгоритм, он аналитически рассчитывает вклад части экстраполированных данных. Время вычисления можно опустить по сравнению с исходным вычислением свертки. Следовательно, с помощью этого алгоритма вычисления свертки с использованием экстраполированных данных почти не увеличиваются. Это называется быстрой экстраполяцией. Быстрая экстраполяция была применена к реконструкции изображения КТ.

Аргументы экстраполяции

Аргументы экстраполяции — это неформальные и не поддающиеся количественной оценке аргументы, которые утверждают, что что-то истинно за пределами диапазона значений, для которого это известно. Например, мы верим в реальность того, что видим через увеличительное стекло, потому что оно согласуется с тем, что мы видим невооруженным глазом, но выходит за его пределы; мы верим в то, что видим в световые микроскопы, потому что это согласуется с тем, что мы видим через увеличительные стекла, но выходит за рамки этого; и то же самое для электронных микроскопов.

Подобно аргументам о скользкой дорожке, аргументы экстраполяции могут быть сильными или слабыми в зависимости от таких факторов, как то, насколько экстраполяция выходит за пределы известного диапазона.

Методы

Обоснованный выбор того, какой метод экстраполяции применить, зависит от предварительного знания процесса, создавшего существующие точки данных. Некоторые эксперты предложили использовать причинные силы при оценке методов экстраполяции. Ключевыми вопросами являются, например, можно ли считать данные непрерывными, гладкими, возможно периодическими и т. Д.

Линейный

Линейная экстраполяция означает создание касательной линии в конце известных данных и расширение ее за этот предел. Линейная экстраполяция даст хорошие результаты только тогда, когда она используется для расширения графика приблизительно линейной функции или не слишком далеко за пределы известных данных.

Если две точки данных, ближайшие к точке, подлежащей экстраполяции, равны и , линейная экстраполяция дает функцию:
Икс*{\ displaystyle x _ {*}}(Иксk-1,yk-1){\ Displaystyle (х_ {к-1}, у_ {к-1})}(Иксk,yk){\ displaystyle (x_ {k}, y_ {k})}

y(Икс*)знак равноyk-1+Икс*-Иксk-1Иксk-Иксk-1(yk-yk-1).{\ displaystyle y (x _ {*}) = y_ {k-1} + {\ frac {x _ {*} — x_ {k-1}} {x_ {k} -x_ {k-1}}} (y_ {k} -y_ {k-1}).}

(что идентично линейной интерполяции, если ). Можно включить более двух точек и усреднить наклон линейного интерполянта с помощью методов, подобных регрессии , для точек данных, выбранных для включения. Это похоже на линейное предсказание .
Иксk-1<Икс*<Иксk{\ Displaystyle х_ {к-1} <х _ {*} <х_ {к}}

Полиномиальный

Экстраполяции Лагранжа последовательности 1,2,3. Экстраполяция на 4 приводит к полиному минимальной степени ( голубая линия).

Полиномиальная кривая может быть построена по всем известным данным или только ближе к концу (две точки для линейной экстраполяции, три точки для квадратичной экстраполяции и т. Д.). Полученная кривая затем может быть расширена за пределы известных данных. Полиномиальная экстраполяция обычно выполняется с помощью интерполяции Лагранжа или с использованием метода конечных разностей Ньютона для создания ряда Ньютона, который соответствует данным. Полученный многочлен можно использовать для экстраполяции данных.

Экстраполяцию полиномов высокого порядка следует использовать с должной осторожностью. Для примера набора данных и проблемы на рисунке выше все, что выше порядка 1 (линейная экстраполяция), возможно, даст непригодные для использования значения; оценка ошибки экстраполированного значения будет расти с увеличением степени экстраполяции полинома

Это связано с феноменом Рунге .

Коническая

Коническое сечение может быть создано с использованием пяти точек вблизи конца известных данных. Если созданное коническое сечение представляет собой эллипс или круг , при экстраполяции он будет возвращаться в петлю и соединиться заново. Экстраполированная парабола или гипербола не соединятся сами с собой, но могут искривляться относительно оси X. Этот тип экстраполяции может быть выполнен с помощью шаблона конических сечений (на бумаге) или с помощью компьютера.

Французская кривая

Экстраполяция французской кривой — это метод, подходящий для любого распределения, которое имеет тенденцию быть экспоненциальным, но с факторами ускорения или замедления. Этот метод успешно использовался для составления прогнозов роста ВИЧ / СПИДа в Великобритании с 1987 года и варианта CJD в Великобритании в течение ряда лет. Другое исследование показало, что экстраполяция может дать такое же качество результатов прогнозирования, как и более сложные стратегии прогнозирования.

Приложения, атрибуты и лимиты

Метод экстраполяции относится к сфере прогнозирования. Он предполагает, что шаблоны, которые существовали в прошлом, будут продолжаться и в будущем, а также то, что эти шаблоны являются регулярными и могут быть измерены. Другими словами, прошлое является хорошим индикатором будущего. Приложения полезны для разработки базовых данных.

Атрибуты и лимиты — это простые и дешевые инструменты вычислений, как и сложные теоретические модели.

Данные процесса — графика и наблюдения.
Ключ — наличие хорошей базы данных и понимание структуры внутри нее.
Техника — наилучшая подгонка, соотношение и так далее.

Временные стандартные статистические процедуры не приводят к аккуратным подборам тенденций, которые прогнозист может экстраполировать с комфортом, выполняя прогноз методом экстраполяции. В таких случаях прогнозист может «скорректировать» статистические результаты, применяя суждение. Также он может полностью игнорировать статистику и экстраполировать тренд целиком на основе суждения.

Прогнозы, генерируемые таким образом, менее точны, чем статистические, но не обязательно неудовлетворительные. Одним из примеров такой экстраполяции качественного тренда является прогнозирование сложности воздушного судна. Попытки количественной оценки этой тенденции не были успешными. Но процент подвижных или регулируемых частей самолета был экстраполирован с частотой, с которой такие элементы были введены в прошлом. Эти прогнозы были достаточно точными.

Специфические технические изменения не могут быть предсказаны таким образом, но степень изменения может. Это дает полезные материалы для планирования, указывая тенденцию прошлого поведения.

Прогнозирование функциональных возможностей

Метод фиксации статистической кривой применим к прогнозированию функциональных возможностей. Статистические процедуры соответствуют прошлым данным одной или нескольких математических функций, таких как линейные, логарифмические, Фурье или экспоненциальные. Наилучшие выбираются статистическим тестом. Тогда этот прогноз экстраполируется из этой математической связи методом математической экстраполяции. Одним из самых простых способов получения приблизительных оценок будущих (или прошлых) условий является экстраполяция данных, которые изменяются со временем.

Например, если нужно провести грубую оценку будущих уровней загрязняющих веществ в питьевых водах на 20 лет вперед, можно экстраполировать эту тенденцию с последних 20 лет. То же наблюдается, если нужно оценить распространенность курения или рак легких в фоновом режиме в будущем. Прогноз можно составить путем расчета тенденции за последние годы. Экстраполяции этого типа можно сделать с использованием менее сложных методов. Во многих случаях (особенно в областях маркетинга и управления бизнесом) традиционно используется метод экстраполяции, например путем просмотра последних данных и интуитивной оценки того, что подразумевается в будущем.

Методы, основанные на правилах, также могут быть использованы путем применения набора предопределенных принципов или ожиданий на основе предварительного понимания системы и учета последних данных для интерпретации будущих событий.

При любом методе в экстраполяции важна осторожность из-за наличия многочисленных неопределенностей. Любая процедура экстраполяции основана на предположении, что в прошлых данных и знаниях имеется достоверная информация

Следовательно, будущее обусловлено теми же факторами, которые действовали ранее.

Статистические инструменты Excel

Чтобы найти корреляцию между годами и результатами (например, в бизнесе), можно воспользоваться Excel.

Для этих задач используют статистические инструменты для моделирования методом экстраполяции, встроенные во все версии Excel, начиная с 97. Порядок действия:

Ввести известные значения, например общие продажи за 2016-2017 годы, если нужно определить их за 2018 и 2020 годы.
Установить утилиту Analysis, функцию, требующую использования надстройки.
Чтобы установить ее, извлечь из меню «Инструменты», «Дополнения».
Проверить окно утилиты анализа и подтвердить с помощью «ОК».
Измерить корреляции между двумя сериями.
Экстраполяция, которую нужно сделать, имеет смысл только в том случае, если между двумя наборами чисел (годы и продажи) складывается четкая тенденция (корреляция) по методу экстраполяции тенденций.
Чтобы измерить эту корреляцию, используют меню «Инструменты», «Утилиты анализа».
В списке «Инструменты анализа» выбирают «Анализ корреляции» и нажимают «ОК».
В поле Input Range вводят анализируемый диапазон, например A6: B18, Excel добавит символ «$».
В области «Параметры вывода» проверяют выходной диапазон и вводят в соседнее поле.
Подтверждают с помощью OK.
Excel создает массив из двух строк по двум столбцам. Находят расчетное значение (например, 0.981). Поскольку это значение близко к 1, это означает, что существует сильная корреляция между годами и цифрами продаж. Если пользователь получит значение, близкое к нулю, это будет означать, что тенденция не возникает. В этом случае экстраполяция не имеет смысла.
Запускается оценка будущих значений.
Выбирают необходимый диапазон и нажимают кнопку «Мастер диаграмм».
Выбирают диаграмму (например, облака точек) и нажимают «Готово».

Применение

Общее значение — это распространение выводов, которые получены из наблюдения над одной частью явления, на его другую часть.

В маркетинге — это распространение выявленных закономерностей развития изучаемого предмета на будущее.

В статистике — это распространение тенденций, установленных в прошлом, на будущий период (экстраполяция во времени используется для перспективных расчетов населения); распространение выборочных данных на прочую часть совокупности, которая не подвергнута наблюдению (экстраполяция в пространстве).

Одним из более распространенных способов краткосрочного прогнозирования экономических явлений — это экстраполяция

Термин “экстраполяция” имеет немного толкований в широком смысле экстраполяция – это способ научного исследования, который заключается в распространении выводов, которые получены из наблюдений за одной частью явления, на а другую его часть В узком смысле – это определение по нескольким данным функции прочих ее значений вне данного ряда за этим рядом.

Корреляция трендов

Всегда одна технология является предшественником другой. Это случается, когда достижения, достигнутые в технологии прекурсоров, могут быть приняты технологией последователей. Когда такие отношения существуют, знание изменений в технологии предшественников может быть использовано для прогнозирования хода технологии последователей в будущем. Кроме того, экстраполяция предшественника позволяет прогнозировать продолжение следования за пределами времени запаздывания.

В этом случае используют метод экстраполяции трендов, в котором сравниваются, например, тенденции скорости боевых и транспортных самолетов. Другим примером прогноза корреляции трендов является прогнозирование размера и мощности будущих компьютеров, основанное на достижениях в области микроэлектронной технологии. Иногда технология последователей зависит от нескольких технологий прекурсоров, а не от одного предшественника.

Фиксированные комбинации предшественников могут влиять на изменение в последовательности, но чаще комбинации не фиксируются, а входы предшественников различаются как по комбинации, так и по силе. Например, увеличение скорости воздушных судов может происходить за счет улучшения двигателей, материалов, элементов управления, топлива, аэродинамики и различных комбинаций этих факторов.

Пример прогноза корреляции, полученной методом экстраполяции трендов: общие пассажирские мили, общие географические мили и средняя посадочная мощность. Экстраполяция статистически определенных тенденций позволяет объективно подходить к прогнозированию. Однако этот подход имеет серьезные ограничения и ловушки. Любые ошибки или неправильный выбор, сделанный при определении исторических данных, будут отражены в прогнозе, что снижает его ценность.

Где применяется термин «экстраполяция»

Как правило, в обычной разговорной речи данный термин не используется. Согласитесь, звучит довольно «коряво»: «Экстраполируя расходы за прошлый месяц, я выделю из зарплаты на домашнее хозяйство в этом месяце ту же сумму».

Изначально термин использовался только в математике. Вот как умными словами об этом говорится в Википедии:

В экономике

Развитие экономики – процесс, подчиняющийся определенным закономерностям. Хоть нам иногда и кажется, что данным процессом правит случай, но это далеко не так.

Самым важным и наглядным показателем состояния экономики является ВВП(валовый внутренний продукт ). Анализируя его численные показатели за прошлые годы, можно сделать вывод о тенденции его изменения в ближайшем будущем.

Стоит сделать оговорку: метод экстраполяции можно применять, если в государстве и в мире не произошло каких-либо форс-мажорных обстоятельств, например, как бушующая сегодня на планете пандемия. Очевидно, что при таких обстоятельствах спрогнозировать развитие экономики крайне затруднительно.

Экстраполяция в статистике

Применение метода экстраполяции в статистике – самый наглядный. Возьмем статистические показатели уровня жизни населения в нашей стране.

Как их получают? Ведь невозможно опросить каждого жителя государства, выяснить, сколько он получает, на что расходует деньги, что покупает из продуктов, сколько тратит на ЖКХ, на обучение детей и т.д.

Для расчета показателей уровня жизни определяют выборку населения дифференцированно по среднедушевым доходам. Затем среди домохозяйств, попавших в выборку, проводят ежемесячные опросы, сводят полученные сведения в единую базу данных по каждому субъекту РФ. После этого выполняют математические расчеты. Делают это как в усредненных показателях, так и дифференцированно по группам населения.

В маркетинге

Напомню, маркетинг – это деятельность, направленная на увеличение продаж, и, следовательно – на рост прибыли.

Экстраполяция в маркетинге эффективна только для краткосрочного прогнозирования (не более 2 лет). Это связано с тем, что рынок – динамичная структура, находящаяся в зависимости от влияния сотен внешних факторов. Каждый меняющийся фактор увеличивает погрешность прогнозирования.

Приведу простейший пример экстраполяции в маркетинге: допустим, нужно узнать, сколько бутылок питьевой воды нужно привезти в магазин на следующую неделю, при условии, что в первую неделю месяца было продано 200 бутылок, во вторую – 220, в третью – 180. Используем экстраполяцию, рассчитываем среднее арифметическое: (200 + 220 + 180) /3 = 200 (бутылок) нужно на четвертую неделю месяца.

Читайте наш блог, это позволит расширить кругозор!

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Использую для заработка

Математический метод оценки

В этом методе экстраполяции прогнозируется значение за базовый период. Действия, описанные ниже, автоматически выполняются системой и не видны пользователю. Описание предназначено для уточнения алгоритма, который выводит ожидаемые значения из количества, хранящегося в системе, и прогнозирует результат измерения счетчика.

Экстраполяция при использовании определения количества процедуры выполняется с помощью функции: Yt = f (yi, t, aj).

В качестве основы для экстраполяции добавляются округленные данные типичного базового периода, хранящегося в результатах считывания. Система определяет вес Yt данных временного ряда в t (время прогнозируемого периода) для получения правильного решения методом экстраполяции. Где в точке отсчета взяты yi – уровень ряда и aj – параметр уравнения тренда.

Экстраполяция – что это

Как всегда, начнем с перевода для того, чтобы хоть немного понять, о чем идет речь. В переводе с латинского (да здравствует языковый донор!):

«extrā» (экстра) – это «вне, снаружи»;
«polire» (полире) – «изменять, выправлять».

Итак, получаем «изменять за пределами чего-либо».

Например: «Я прошла половину пути за час, значит, я приду в точку назначения еще через час», «Сегодня мы сшили 100 защитных масок, значит, завтра мы сошьем такое же количество масок».

Синонимы к слову «экстраполяция»:

выявлять тенденцию;
обобщать данные и делать выводы.

Стоит учитывать, что на основе экстраполяции можно сделать предварительные выводы, но их нельзя считать доказанными. Но, тем не менее, экстраполяция – это наиболее достоверный метод прогнозирования.

Обратным к методу экстраполяции является интерполяция. Это вычислительный метод, согласно которому по определенной закономерности можно найти неизвестные промежуточные величины.

Рассмотрим метод интерполяции на простом примере. Допустим, заработная плата Иванова составляла:

2017 год = 12 тыс.руб.;
2018 г. = 14 тыс.руб.;
2020 г. = 18 тыс.руб.

Нужно выяснить, какая зарплата была у Иванова в 2019 году. Применяя метод интерполяции, вычисляем, что заработок Иванова составлял 16 тыс. рублей.

В комплексной плоскости

В комплексном анализе проблема экстраполяции может быть преобразована в задачу интерполяции путем замены переменной . Это преобразование меняет местами часть комплексной плоскости внутри единичной окружности на часть комплексной плоскости вне единичной окружности. В частности, точка компактификации на бесконечности отображается в начало координат и наоборот

Однако с этим преобразованием следует проявлять осторожность, поскольку исходная функция могла иметь на бесконечности «особенности», например полюса и другие особенности , которые не были очевидны из выборочных данных.
z^знак равно1z{\ displaystyle {\ hat {z}} = 1 / z}

Другая проблема экстраполяции слабо связана с проблемой аналитического продолжения , где (обычно) представление функции степенным рядом расширяется в одной из точек сходимости для получения степенного ряда с большим радиусом сходимости . Фактически, набор данных из небольшой области используется для экстраполяции функции на большую область.

Опять же, аналитическому продолжению могут помешать функциональные особенности, которые не были очевидны из исходных данных.

Кроме того , можно использовать преобразование последовательности , как Пад и преобразования последовательностей Левина типа как методы экстраполяции , которые приводят к суммированию из силовых рядов , которые являются расходящимися вне первоначального радиуса сходимости . В этом случае часто получаются
рациональные аппроксимации .

История процесса экстраполяции

Этот метод часто называют экстраполяцией Ричардсона или методом Ромберга. Но это не совсем правильно, поскольку на протяжении веков уже существовали похожие численные методы решения подобных задач. Поэтому знаменитая h2 Ричардсона (экстраполяция для численного решения) не является первой. Подобный метод был применим в вычислениях Гюйгенса еще в 1654 году. Сам термин «экстраполяция» был впервые введен Томасом Д. Кларесоном в 1959 году в книге о науке и художественной литературе.

Методы экстраполяции могут пониматься как расширение данных или процессов, предполагающих, что аналогичный процесс будет применяться и за их пределами. Экстраполяция — важная концепция, используемая не только в математике, но и в других областях, таких как социология, психология, прогнозирование. Например, водитель обычно экстраполирует дорожные условия за пределами своего видения. Экстраполяция может быть отнесена к способу, в котором значения данных рассматриваются как точки x1, x2 …, xn, а затем значение приближается к пределу заданного диапазона точек.

Преимущества использования:

Простой метод прогнозирования.
Не так много данных требуется.
Быстрая и дешевая аналитика.

Метод существует в статистических данных. Если какие-то значения периодически убираются, ответ приближается к следующей точке данных. Примером методом экстраполяции является прогноз погоды, в котором рассматривается предыстория данных и экстраполируется прогнозируемая модель будущего. Еще более простой пример, если есть информация о воскресеньях, понедельниках и вторниках, можно экстраполировать среду или четверг.

Недостатки использования экстраполяции:

Ненадежность, если имеются значительные колебания в исторических данных.
Предположение, что прошлая тенденция будет продолжаться и в будущем, вряд ли возможно во многих конкурентных бизнес-средах.
Игнорирует качественные факторы, например изменения вкусов и моды.

Ошибки прогнозирования

Ошибочность экстраполяции (точнее, ошибочность неоправданной экстраполяции) возникает, когда явление, ответственное за ряд тривиальных локальных эффектов, считывается в качестве великих глобальных явлений. Еще одна причина ошибки заключается в том, что иногда обобщенные правила выводятся на основе слишком немногочисленных фактов. Так, теория Дарвина об эволюции является фантастическим примером применения метода экстраполяции, в которой механизмы случайных изменений и естественного отбора объявляются для учета развития таких сложных структур, как зрение млекопитающих или иммунная система живых организмов.

При попытке интерпретации результатов исследований ученый должен избегать экстраполяции вне диапазона данных и осознавать лежащие в основе предположения, чтобы избежать принятия недействительных выводов. В общем, экстраполяция является законным научным инструментом. Есть два аспекта, которые помогают различать действительную и ошибочную экстраполяцию. Вероятность ошибочной экстраполяции выше, когда для ее построения были получены точки на недостаточных данных.

Применение скользящих средних

Эти два метода экстраполяции предполагают широкое использование данных по продажам для прогнозирования будущего. Скользящее среднее значение принимает серию данных и «сглаживает» флуктуации в них. Цель состоит в том, чтобы извлекать экстремумы данных из периода в период. Скользящие средние часто вычисляются ежеквартально или еженедельно. Для прогнозирования будущих значений экстраполяция предполагает использование трендов, установленных историческими данными. Основное предположение экстраполяции заключается в том, что образец будет продолжаться и в будущем, если фактические данные не указывают на иное. Чтобы подробнее разобраться в этих методах, можно рассмотреть диаграмму, показывающую продажи гаджетов для крупного бизнеса с 2012 по 2015 годы.

Этот метод экстраполяции расчета показывает фактическую цифру продаж. Как можно увидеть, общая сумма продаж колеблется от года к году, хотя можно догадаться (глядя на данные), что общая тенденция для роста продаж имеется. Черная линия показывает скользящую среднюю. Это рассчитывается путем добавления последних лет продаж (например, Q1 + Q2 + Q3 + Q4), а затем деления на четыре.

Этот метод сглаживает годовые изменения и дает хорошее представление об общей тенденции в годовых продажах. Скользящее среднее помогает указать тенденцию роста, выраженную в процентных значениях. Именно это экстраполяция будет использовать сначала, чтобы предсказать путь будущих продаж. Это можно сделать математически, используя электронную таблицу. В качестве альтернативы экстраполированный тренд можно просто нарисовать на диаграмме в качестве приблизительной оценки.

Различные способы экстраполяции

Рассмотрим детальнее названные способы экстраполяции.

При экстраполяции на основании среднего уровня ряда применяется принцип, при котором прогнозируемый уровень равняется среднему значению в прошлом уровней ряда.

В данной ситуации экстраполяция дает точечную прогностическую оценку. Точное совпадение данных оценок с фактическими данными — маловероятное явление. Таким образом, прогноз обязан быть в виде интервала значений.

Полученный доверительный интервал учитывает неопределенность, которая связана с оценкой средней величины, и его использование для прогнозирования увеличивает степень надежности прогноза. Однако недостаток рассматриваемого подходов периода — это то, что доверительный интервал не связывается с периодом предупреждения.

Экстраполяцию по среднему абсолютному приросту можно провести тогда, когда линейной считать общую тенденцию развития явления.

Чтобы рассчитать прогнозное значение, уровень необходимо определить абсолютный средний прирост. Затем, зная уровень ряда динамики, который принимают за основу экстраполяции.

Экстраполяцию по среднему темпу роста можно осуществить, когда есть основания полагать, что суммарная тенденция ряда динамики характеризуется показательной кривой.

Доверительный интервал прогноза по средним темпом роста можно определить лишь в том случае, когда средний темп роста рассчитывают при помощи статистического оценивания параметров экспоненциальной кривой.

Все три рассмотренные способа экстраполяции тренда простейшие, но вместе и самые приближенные.

Сложные способы экстраполяции предусматривают выявление главной тенденции, то есть использование статистических формул, которые описывают тренд.

Способы данной группы возможно разделить на два главных вида: адаптивные и аналитические (кривые роста).

Полиномиальная и коническая экстраполяции

Известно, что три точки дают уникальный многочлен. Полиномиальная кривая может быть продолжена после окончания таких данных. Она обычно выполняется методом Ньютона с конечной разностью или с использованием интерполяционной формулы Лагранжа

Полином высшего порядка должен быть экстраполирован с должным вниманием, потому что при полиномиальной экстраполяции есть справедливые шансы на ошибку. Если это произойдет, оценка ошибки будет экспоненциально возрастать вместе со степенью полинома

В математике минимальная полиномиальная экстраполяция представляет собой преобразование последовательности, используемое для ускорения сходимости. Хотя метод Айткена является самым известным, он часто терпит неудачу, особенно для векторных последовательностей. При этом выполняется итерация, которая строит матрицу. Ее столбцы являются отличиями.

К примеру, методом экстраполяции для конического разреза может быть произведен с помощью 5 точек, указанных ближе к концу данных. В случае, если коническая секция представляет собой круг или эллипс, то она будет образовывать петли назад и воссоединиться с собой. Парабола или гипербола никогда не пересекутся. Но они могут быть изогнуты назад относительно оси X. Экстраполяция конуса может быть выполнена на бумаге с конической секцией или с помощью компьютера.

Что такое экстраполяция и что значить экстраполировать