Четырехугольники

Типы четырёхугольников

      Классификация треугольников изложена в разделе нашего справочника .

      Целью данного раздела является классификация .

      Классификация четырёхугольников по типам представлена на схеме 1.

Четырехугольники

Схема 1

      Рисунки и определения фигур, представленных на схеме 1, даны в следующей таблице.

Фигура Рисунок Определение
Четырёхугольник

Четырёхугольник – это часть плоскости, ограниченная без самопересечений.

Выпуклый четырёхугольник

Выпуклый четырёхугольник – это четырёхугольник, который вместе с любыми двумя точками содержит и весь отрезок с концами в этих точках

Невыпуклый четырёхугольник

Четырёхугольник называют невыпуклым, если он не является выпуклым.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

Трапеция

Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие стороны не параллельны (боковые   стороны).

Дельтоид

Дельтоид – это выпуклый четырёхугольник, состоящий из двух различных равнобедренных треугольников с общим основанием, вершины которых лежат по разные стороны от этого основания.

Четырёхугольник

Четырёхугольник – это часть плоскости, ограниченная без самопересечений.

Выпуклый четырёхугольник

Выпуклый четырёхугольник – это четырёхугольник, который вместе с любыми двумя точками содержит и весь отрезок с концами в этих точках

Невыпуклый четырёхугольник

Четырёхугольник называют невыпуклым, если он не является выпуклым.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

Трапеция

Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие стороны не параллельны (боковые   стороны).

Дельтоид

Дельтоид – это выпуклый четырёхугольник, состоящий из двух различных равнобедренных треугольников с общим основанием, вершины которых лежат по разные стороны от этого основания.

Диагонали

Свойства диагоналей в некоторых четырехугольниках

В следующей таблице это перечислено, если диагонали в некоторых самых основных четырехугольниках делят пополам друг друга, если их диагонали перпендикулярны, и если у их диагоналей есть равная длина. Список относится к наиболее общим случаям и исключает названные подмножества.

Отметьте 1: у самых общих трапецоидов и равнобедренных трапецоидов нет перпендикулярных диагоналей, но есть бесконечные числа (неподобных) трапецоидов и равнобедренных трапецоидов, которые имеют перпендикулярные диагонали и не являются никаким другим названным четырехугольником.

Отметьте 2: В бумажном змее одна диагональ делит пополам другой. У самого общего бумажного змея есть неравные диагонали, но есть бесконечное число (неподобных) бумажных змеев, в которых диагонали равны в длине (и бумажные змеи не другой названный четырехугольник).

Длина диагоналей

Длина диагоналей в выпуклом четырехугольнике ABCD может быть вычислена, используя закон косинусов. Таким образом

и

Другой, больше симметричных формул для длины диагоналей,

и

Обобщения закона о параллелограме и теоремы Птолемея

В любом выпуклом четырехугольнике ABCD сумма квадратов этих четырех сторон равна сумме квадратов этих двух диагоналей плюс четыре раза квадрат линейного сегмента, соединяющего середины диагоналей. Таким образом

где x — расстояние между серединами диагоналей. Это иногда известно как четырехсторонняя теорема Эйлера и является обобщением закона о параллелограме.

Немецкий математик Карл Антон Бречнайдер, полученный в 1842 следующее обобщение теоремы Птолемея, относительно продукта диагоналей в выпуклом четырехугольнике

Это отношение, как могут полагать, является законом косинусов для четырехугольника. В циклическом четырехугольнике, где + C = 180 °, это уменьшает до pq = ac + BD. С тех пор, потому что (+ C) ≥ −1, это также дает доказательство неравенства Птолемея.

Другие метрические отношения

Если X и Y ноги normals от B и D к диагональному AC = p в выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами = AB, b = до н.э, c = CD, d = DA, то

В выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами = AB, b = до н.э, c = CD, d = DA, и где диагонали пересекаются в E,

где e = ОДИН, f = БЫТЬ, g = CE и h = DE.

Форма выпуклого четырехугольника полностью определена длинами его сторон в последовательности и одной диагонали между двумя указанными вершинами. Эти две диагонали p, q и четыре длины стороны a, b, c, d четырехугольника связаны детерминантом Кэли-Менджера, следующим образом:

0 & a^2 & p^2 & d^2 & 1 \\

a^2 & 0 & b^2 & q^2 & 1 \\

p^2 & b^2 & 0 & c^2 & 1 \\

d^2 & q^2 & c^2 & 0 & 1 \\

1 & 1 & 1 & 1 & 0

Ссылки

  • Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Mathematical Olympiad Treasures. — Birkhäuser, 2006.
  • Helen. On a circle attached to a collapsible four-bar // American Mathematical Monthly. — 1926. — Т. 33, вып. 9.
  • Alexander Bogomolny. When A Quadrilateral Is Inscriptible? // Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
  • C.V. Durell, A. Robson. Advanced Trigonometry // Dover reprint. — 2003.
  • Victor Bryant, John Duncan. Wheels within wheels // Mathematical Gazette. — 2010. — Вып. 94, November.
  • Albrecht Hess. On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2014. — Т. 14.
  • Mowaffaq Hajja. A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic // Forum Geometricorum. — 2008. — Т. 8.

Larry Hoehn. A new formula concerning the diagonals and sides of a quadrilateral. — 2011. — Т. 11.

  • John P. Hoyt. Quickies, Q694 // Mathematics Magazine. — 1984. — Т. 57, вып. 4.
  • Martin Josefsson. Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010a. — Т. 10.

Martin Josefsson. On the inradius of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010b. — Т. 10.

  • Martin Josefsson. Characterizations of Bicentric Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2010c. — Т. 10.
  • Martin Josefsson. When is a Tangential Quadrilateral a Kite? // Forum Geometricorum. — 2011a. — Т. 11.
  • Martin Josefsson. More Characterizations of Tangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2011b. — Т. 11.
  • Martin Josefsson. The Area of a Bicentric Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2011c. — Т. 11.
  • Martin Josefsson. Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2012. — Т. 12.
  • Martin Josefsson. Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals. — 2012b. — Т. 12.
  • Nicusor Minculete. Characterizations of a Tangential Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2009. — Т. 9.
  • Alexei Myakishev. On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2006. — Т. 6.
  • A.W. Siddons, R.T. Hughes. Trigonometry. — Cambridge Univ. Press, 1929.
  • И. Вайнштейн, Н. Васильев, В. Сендеров. (Решение задачи) M1495 // Квант. — 1995. — Вып. 6.
  • Michael De Villiers. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — 2011. — Вып. 95, March.

Формулы для углов

Если e, f, g и h отрезки касательных от вершин A, B, C и D соответственно к точкам касания окружности четырёхугольником ABCD, то углы четырёхугольника можно вычислить по формулам

sin⁡A2=efg+fgh+ghe+hef(e+f)(e+g)(e+h),{\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},}
sin⁡B2=efg+fgh+ghe+hef(f+e)(f+g)(f+h),{\displaystyle \sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},}
sin⁡C2=efg+fgh+ghe+hef(g+e)(g+f)(g+h),{\displaystyle \sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},}
sin⁡D2=efg+fgh+ghe+hef(h+e)(h+f)(h+g).{\displaystyle \sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.}

Угол между хордами KM и LN задаётся формулой(см. рисунок)

sin⁡φ=(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)(e+f)(f+g)(g+h)(h+e).{\displaystyle \sin {\varphi }={\sqrt {\frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}}.}

Литература

  • Дж. В. Юнг. Проективная геометрия. — Москва: Государственное издательство ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, 1949.
  • Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Mineola, New York: Dover Publications, 2007. — ISBN 978-0-486-46237-0. (Первоначальная публикация — 1960)
  • H. S. M. Coxeter. Projective Geometry, 2nd ed.. — Springer-Verlag, 1987. — ISBN 0-387-96532-7.
  • Robin Hartshorne. Foundations of Projective Geometry. — W. A. Benjamin, 1967. — С. 53–6.
  • Robert Lachlan. An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. — London, New York: Macmillan and Co., 1893. Ссылка из Исторических Математических Монографий Корнеллского университета
  • David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. — Penguin, 1991. — С. 35–36. — ISBN 0-14-011813-6.

Определения

Фигура, состоящая из четырёх точек на плоскости, никакие три из которых не коллинеарны, и шести прямых, попарно их соединяющих, называется полным четырёхугольником.
Стороны, не имеющие общей вершины в полном четырёхугольнике, называются противоположными. Точки пересечения трёх пар противоположных сторон называются диагональными точками.

Фигура, состоящая из четырёх прямых на плоскости, никакие три из которых не сходятся в одной точке, и шести точек попарного их пересечения, называется полным четырёхсторонником. Четыре прямые называются сторонами, а шесть точек — вершинами четырёхсторонника. Вершины, не примыкающие к одной и той же стороне, называются противоположными. Прямые, соединяющие три пары противоположных вершин, называются диагоналями.

Ряд из шести (пяти, четырёх) точек, в которых стороны полного четырёхугольника пресекают некоторую прямую, называется рядом точек, порождаемым полным четырёхугольником. Если такая прямая проходит через две диагональные точки A и C, а B и D — точки, в которых две остальные стороны пересекают прямую AC, то пары точек AC и BD называются гармонической четвёркой и обозначаются H(AC, BD). Точки B и D называются гармоническими по отношению к A и C, а точка D (или B) называется гармонически сопряжённой с точкой B (или D) относительно пары точек A и D.

Если между точками двух фигур существует соответствие, такое, что прямые, соединяющие каждую пару соответственных точек, сходятся в некоторой точке O, то фигуры называются перспективными относительно центра O.

Если между прямыми линиями двух фигур существует соответствие, такое, что точки пересечения каждой пары соответственных прямых лежат на одной и той же прямой l, то эти фигуры называются перспективными относительно оси l.

После открытия плоскости Фано, конечной геометрии, в которой диагональные точки полного четырёхугольника коллинеарны, некоторые авторы добавляют к аксиомам проективной геометрии аксиому Фано, постулирующую, что диагональные точки не коллинеарны.

Диагонали

Во вписанном четырёхугольнике с вершинами A, B, C, D (в указанной последовательности) и сторонами a = AB, b = BC, c = CD и d = DA длины диагоналей p = AC и q = BD можно выразить через стороны

p=(ac+bd)(ad+bc)ab+cd{\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}}

и

q=(ac+bd)(ab+cd)ad+bc{\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}}

что даёт равенство Птолемея

pq=ac+bd.{\displaystyle pq=ac+bd.}

Согласно второй теореме Птолемея,

pq=ad+bcab+cd{\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}}

при тех же обозначениях, что и прежде.

Для суммы диагоналей имеем неравенство

p+q≥2ac+bd.{\displaystyle p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.}

Неравенство становится равенством в том и только в том случае, когда диагонали имеют одинаковую длину, что можно показать, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Более того,

(p+q)2≤(a+c)2+(b+d)2.{\displaystyle (p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.}

В любом выпуклом четырёхугольнике две диагонали делят четырёхугольник на четыре треугольника. Во вписанном четырёхугольнике противоположные пары этих четырёх треугольников подобны.

Если M и N являются средними точками диагоналей AC и BD, то

MNEF=12|ACBD−BDAC|{\displaystyle {\frac {MN}{EF}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {AC}{BD}}-{\frac {BD}{AC}}\right|}

где E и F — точки пересечения противоположных сторон.

Если ABCD — вписанный четырёхугольник и AC пересекает BD в точке P, то

APCP=ABCB⋅ADCD.{\displaystyle {\frac {AP}{CP}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.}

Признаки и свойства прямоугольника

Как понять, решая очередную геометрическую задачу, с каким именно четырёхугольником мы имеем дело? Существуют три основных признака, по которым можно безошибочно определить, что речь идёт именно о прямоугольнике. Назовём их:

  • фигура является четырёхугольником, три угла которого равны 90°,
  • представленный четырёхугольник — это параллелограмм с равными диагоналями,
  • параллелограмм, который имеет по крайней мере один прямой угол.

Поскольку прямоугольник — это параллелограмм (т. е. четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами), то для него будут выполняться все его свойства и признаки.

Формулы для вычисления длины сторон

В прямоугольнике противолежащие стороны равны и взаимно параллельны. Более длинную сторону принято называть длиной (обозначается a), более короткую — шириной (обозначается b). В прямоугольнике на изображении длинами являются стороны AB и CD, а шириной — AC и B. D. Также они перпендикулярны к основаниям (т. е. являются высотами).

Для нахождения сторон можно воспользоваться формулами, указанными ниже. В них приняты условные обозначения: a — длина прямоугольника, b — его ширина, d — диагональ (отрезок, соединяющий вершины двух углов, лежащих друг напротив друга), S — площадь фигуры, P — периметр, α угол между диагональю и длиной, β острый угол, который образован обеими диагоналями. Способы нахождения длин сторон:

  • С использованием диагонали и известной стороны: a = √(d ² b ²), b = √(d ² a ²).
  • По площади фигуры и одной из её сторон: a = S / b, b = S / a.
  • При помощи периметра и известной стороны: a = (P — 2 b) / 2, b = (P — 2 a) / 2.
  • Через диагональ и угол между ней и длиной: a = d sinα, b = d cosα.
  • Через диагональ и угол β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Периметр и площадь

ЧетырехугольникиПериметром четырёхугольника называют сумму длин всех его сторон. Чтобы вычислить периметр, могут использоваться следующие формулы:

  • Через обе стороны: P = 2 (a + b).
  • Через площадь и одну из сторон: P = (2S + 2a ²) / a, P = (2S + 2b ²) / b.

Площадь — это пространство, ограниченное периметром. Три основных способа для расчёта площади:

  • Через длины обеих сторон: S = a*b.
  • При помощи периметра и какой-либо одной известной стороны: S = (Pa — 2 a ²) / 2, S = (Pb — 2 b ²) / 2.
  • По диагонали и углу β: S = 0,5 d ² sinβ.

Диагонали прямоугольника

В задачах школьного курса математики часто требуется хорошо владеть свойствами диагоналей прямоугольника. Перечислим основные из них:

  1. Диагонали равны друг другу и делятся на два равных отрезка в точке их пересечения.
  2. Диагональ определяется как корень суммы обеих сторон, возведённых в квадрат (следует из теоремы Пифагора).
  3. Диагональ разделяет прямоугольник на два треугольника с прямым углом.
  4. Точка пересечения совпадает с центром описанной окружности, а сами диагонали — с её диаметром.

Применяются следующие формулы для расчёта длины диагонали:

  • С использованием длины и ширины фигуры: d = √(a ² + b ²).
  • С использованием радиуса окружности, описанной вокруг четырёхугольника: d = 2 R.

https://youtube.com/watch?v=GsKDC_HdGiw

Другие свойства

Японская теорема

Во вписанном четырёхугольнике ABCD центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB являются вершинами прямоугольника. Это одна из теорем, известных как японская теорема. Ортоцентры тех же четырёх треугольников являются вершинами четырёхугольника, равного ABCD. Центроиды этих четырёх треугольников являются вершинами другого вписанного четырёхугольника.

Во вписанном четырёхугольнике ABCD с центром описанной окружности O пусть P — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда угол APB является средним арифметическим углов AOB и COD. Это является прямым следствием теоремы о вписанном угле и теоремы о внешнем угле треугольника.

Не существует вписанных четырёхугольников с рациональной площадью и неравными рациональными сторонами, образующими арифметическую, либо геометрическую прогрессию.

Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон, образующие арифметическую прогрессию, то четырёхугольник является также внешне описанным.

Если противоположные стороны вписанного четырёхугольника продолжить до пересечения в точках E и F, то внутренние биссектрисы углов в E и F перпендикулярны.

Пусть ABCD{\displaystyle ABCD} — вписанный четырёхугольник, A1{\displaystyle A_{1}} — основание перпендикуляра, опущенного из вершины A{\displaystyle A} на диагональ BD{\displaystyle BD}; аналогично определяются точки B1,C1,D1{\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1}}. Тогда точки A1,B1,C1,D1{\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}} лежат на одной окружности.

Свойства четырёх внутренних треугольников

Описание Чао и Симеонова (Chao, Simeonov) в терминах радиусов окружностей, вписанных в каждый из четырёх и треугольников

Для непересекающихся треугольниках APB, BPC, CPD, DPA, образованных диагоналями выпуклого четырёхугольника ABCD, где диагонали пересекаются в точке P, имеются следующие свойства.

Пусть r1, r2, r3 и r4 означают радиусы вписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно. Чао и Симеонов доказали, что четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда

1r1+1r3=1r2+1r4.{\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{4}}}.}

Это свойство было доказано пятью годами ранее Вайнштейном.
В решении его задачи похожее свойство было дано Васильевым и Сендеровым. Если через hM, hK, hN и hL обозначить высоты тех же треугольников (опущенных из пересечения диагоналей P), то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда

1hM+1hN=1hK+1hL.{\displaystyle {\frac {1}{h_{M}}}+{\frac {1}{h_{N}}}={\frac {1}{h_{K}}}+{\frac {1}{h_{L}}}.}

Ещё одно похожее свойство относится к радиусам вневписанных окружностей rM, rK, rN и rL для тех же четырёх треугольников (четыре вневписанные окружности касаются каждой из сторон четырёхугольника и продолжений диагоналей). Четырёхугольник является описанным в том и только в том случае, когда

1rM+1rN=1rK+1rL.{\displaystyle {\frac {1}{r_{M}}}+{\frac {1}{r_{N}}}={\frac {1}{r_{K}}}+{\frac {1}{r_{L}}}.}

Если RM, RK, RN и RL — радиусы описанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно, то треугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда

RM+RN=RK+RL.{\displaystyle R_{M}+R_{N}=R_{K}+R_{L}.}

В 1996 Вайнштейн, похоже, был первым, кто доказал ещё одно замечательное свойство описанных четырёхугольников, которое позднее появилось в нескольких журналах и сайтах. Свойство утверждает, что если выпуклый четырёхугольников разделён на четыре неперекрывающихся треугольника его диагоналями, центры вписанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда четырёхугольник является описанным. Фактически центры вписанных окружностей образуют ортодиагональный вписанный четырёхугоольник . Здесь вписанные окружности можно заменить на вневписанные (касающиеся стороны и продолжения диагоналей четырёхугольника). Тогда выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда центры вневписанных окружностей являются вершинами вписанного четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда четыре центра вневписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA лежат на одной окружности (здесь вневписанные окружности пересекают стороны четырёхугольника, в отличие от аналогичного утверждения выше, где вневписанные окружности лежат вне четырёхугольника). Если Rm, Rn, Rk и Rl — радиусы вневписанных окружностей APB, BPC, CPD и DPA соответственно, противоположных вершинам B и D, то ещё одним необходимым и достаточным условием того, что четырёхугольник является описанным, будет

1Rm+1Rn=1Rk+1Rl.{\displaystyle {\frac {1}{R_{m}}}+{\frac {1}{R_{n}}}={\frac {1}{R_{k}}}+{\frac {1}{R_{l}}}.}

Далее выпуклый четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда

m△(APB)+n△(CPD)=k△(BPC)+l△(DPA){\displaystyle {\frac {m}{\triangle (APB)}}+{\frac {n}{\triangle (CPD)}}={\frac {k}{\triangle (BPC)}}+{\frac {l}{\triangle (DPA)}}}

где m, k, n, l – длины сторон AB, BC, CD и DA, а ∆(APB) — площадь треугольника APB.

Обозначим отрезки, на которые точка P делит диагональ AC как AP = pa и PC = pc. Аналогичным образом P делить диагональ BD на отрезки BP = pb и PD = pd. Тогда четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равенств:

mpcpd+npaqb=kpapd+lpcpb{\displaystyle mp_{c}p_{d}+np_{a}q_{b}=kp_{a}p_{d}+lp_{c}p_{b}}

или

(pa+pb−m)(pc+pd−n)(pa+pb+m)(pc+pd+n)=(pc+pb−k)(pa+pd−l)(pc+pb+k)(pa+pd+l){\displaystyle {\frac {(p_{a}+p_{b}-m)(p_{c}+p_{d}-n)}{(p_{a}+p_{b}+m)(p_{c}+p_{d}+n)}}={\frac {(p_{c}+p_{b}-k)(p_{a}+p_{d}-l)}{(p_{c}+p_{b}+k)(p_{a}+p_{d}+l)}}}

или

(m+pa−pb)(n+pc−pd)(m−pa+pb)(n−pc+pd)=(k+pc−pb)(l+pa−pd)(k−pc+pb)(l−pa+pd).{\displaystyle {\frac {(m+p_{a}-p_{b})(n+p_{c}-p_{d})}{(m-p_{a}+p_{b})(n-p_{c}+p_{d})}}={\frac {(k+p_{c}-p_{b})(l+p_{a}-p_{d})}{(k-p_{c}+p_{b})(l-p_{a}+p_{d})}}.}

Литература

  • Martin Josefsson. Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010. — Vol. 10. — P. 119–130.
  • Martin Josefsson. Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2012. — Vol. 12. — P. 13–25.
  • Maria Flavia Mammana, Biagio Micale, Mario Pennisi. The Droz-Farny Circles of a Convex Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2011. — Vol. 11. — P. 109–119.
  • N. Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 2007. (Переиздание книги 1952 года, Barnes & Noble)
  • Douglas W. Mitchell. The area of a quadrilateral // Mathematical Gazette. — 2009. — Vol. 93. — P. 306–309.
  • Dan Ismailescu, Adam Vojdany. Class preserving dissections of convex quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2009. — Vol. 9. — P. 195–211.
  • J. Harries. Area of a quadrilateral // Mathematical Gazette. — 2002. — No. 86.
  • Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Challenging Problems in Geometry. 2nd edition. — New York: Dover Publ., 1996. — ISBN 0-486-69154-3.

Неравенства

Область

Если у выпуклого четырехугольника есть последовательные стороны a, b, c, d и диагонали p, q, то его область К удовлетворяет

: с равенством только для прямоугольника.

: с равенством только для квадрата.

: с равенством, только если диагонали перпендикулярны и равны.

: с равенством только для прямоугольника.

От формулы Бречнайдера это непосредственно следует за этим, область четырехугольника удовлетворяет

с равенством, если и только если четырехугольник цикличен или выродившийся таким образом, что одна сторона равна сумме других трех (это разрушилось в линейный сегмент, таким образом, область — ноль).

Область любого четырехугольника также удовлетворяет неравенство

Обозначая периметр как L, у нас есть

с равенством только в случае квадрата.

Область выпуклого четырехугольника также удовлетворяет

для диагональных длин p и q, с равенством, если и только если диагонали перпендикулярны.

Диагонали и bimedians

Заключение к четырехсторонней теореме Эйлера — неравенство

где равенство держится, если и только если четырехугольник — параллелограм.

Эйлер также обобщил теорему Птолемея, которая является равенством в циклическом четырехугольнике в неравенство для выпуклого четырехугольника. Это заявляет этому

где есть равенство, если и только если четырехугольник цикличен. Это часто называют неравенством Птолемея.

В любом выпуклом четырехугольнике bimedians m, n и диагонали p, q связаны неравенством

с равенством, держащимся, если и только если диагонали равны. Это следует непосредственно от четырехсторонней идентичности

Выпуклый четырехугольник

Основные свойства и виды

К выпуклым четырехугольникам можно отнести практически все известные нам фигуры, состоящие из четырех углов и сторон. Можно выделить следующие:

  1. параллелограмм;
  2. квадрат;
  3. прямоугольник;
  4. трапеция;
  5. ромб.

Все эти фигуры объединяет не только то, что они четырехугольные, но и то, что они еще и выпуклые. Достаточно просто рассмотреть схему:

На рисунке изображена выпуклая трапеция. Тут видно, что трапеция находится на одной плоскости или по одну сторону от отрезка . Если провести аналогичные действия, можно выяснить, что и в случае со всеми остальными сторонами трапеция является выпуклой.

Является ли параллелограмм выпуклым четырехугольником?

Четырехугольники

параллелограмм также является выпуклым

Теперь, представьте себе квадрат или прямоугольник. По своим основным свойствам они являются еще и параллелограммами, то есть все их стороны расположены попарно параллельно. Только в случае с прямоугольником длина сторон может быть разной, а углы прямые (равные 90 градусам), квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны и углы также прямые, а у параллелограмма длины сторон и углы могут быть разными.

В итоге, сумма всех четырех углов четырехугольника должна быть равна 360 градусам. Легче всего это определить по прямоугольнику: все четыре угла прямоугольника прямые, то есть равны 90 градусам. Сумма этих 90-градусных углов дает 360 градусов, другими словами, если сложить 90 градусов 4 раза, получится необходимый результат.

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются. Действительно, это явление можно наблюдать визуально, достаточно взглянуть на рисунок:

На рисунке слева изображен невыпуклый четырехугольник или четырехсторонник. Как угодно. Как видно, диагонали не пересекаются, по крайней мере, не все. Справа изображен выпуклый четырехугольник. Тут уже наблюдается свойство диагоналей пересекаться. Это же свойство можно считать признаком выпуклости четырехугольника.

Другие свойства и признаки выпуклости четырехугольника

Четырехугольники

Итак, известны основные признаки и свойства:

  1. сумма углов четырехугольника равна 360 градусам;
  2. диагонали фигур пересекаются в одной точке.

Далее рассмотрим каждый четырехугольник по отдельности.

Четырехугольники

Прямоугольник

Квадрат, тот же параллелограмм, но углы его прямые как у прямоугольника. Из-за этого квадрат в редких случаях называют прямоугольником. Но главным отличительным признаком квадрата помимо уже перечисленных выше, является то, что все четыре его стороны равны.

Трапеция — очень интересная фигура. Это тоже четырехугольник и тоже выпуклый. В этой статье трапеция уже рассматривалась на примере рисунка. Понятно, что она тоже выпуклая. Главным отличием, а соответственно признаком трапеции является то, что ее стороны могут быть абсолютно не равны друг другу по длине, а также ее углы по значению. При этом фигура всегда остается на одной плоскости относительно любой из прямых, которая соединяет любые две ее вершины по образующим фигуру отрезкам.

Ромб — не менее интересная фигура. Отчасти ромбом можно считать квадрат. Признаком ромба является тот факт, что его диагонали не только пересекаются, но и делят углы ромба пополам, а сами диагонали пересекаются под прямым углом, то есть, они перпендикулярны. В случае, если длины сторон ромба равны, то диагонали тоже делятся пополам при пересечении.

Дельтоиды или выпуклые ромбоиды (ромбы) могут иметь разную длину сторон. Но при этом все равно сохраняются как основные свойства и признаки самого ромба, так и признаки и свойства выпуклости. То есть, мы можем наблюдать, что диагонали делят углы пополам и пересекаются под прямым углом.

Сегодняшней задачей было рассмотреть и понять, что такое выпуклые четырехугольники, какие они бывают и их основные признаки и свойства

Внимание! Стоит напомнить еще раз, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусам. Периметр фигур, например, равен сумме длин всех образующих фигуру отрезков

Формулы расчета периметра и площади четырехугольников будут рассмотрены в следующих статьях.

Виды выпуклых четырехугольников

ЧетырехугольникиЧетырехугольникиЧетырехугольникиЧетырехугольники

Как описать четырехугольник окружностью?

Окружность, проходящая по всем вершинам четырехугольника, называется описанной окружностью. Если сумма противоположных углов равна 180°, то такой четырехугольник можно описать окружностью. В случае, если данное условие не выполняется, то такой четырехугольник невозможно описать окружностью.

ЧетырехугольникиЦентр описанной окружности четырехугольника — это точка пересечения перпендикуляров, выходящих из середины сторон.

Мы уже рисовали описанную окружность для треугольника. Алгоритм для описания окружности для четырехугольника такой же. На рисунке хорошо видно, как из середины сторон мы провели перпендикуляры и нашли точку пересечения. С помощью штангенциркуля выставляем радиус от центра до любой вершины и круговым движением рисуем описанную окружность четырехугольника.

Найди ортодиагональные четырехугольники. Четырехугольники

  • #1
  • #6
  • #9

Больше четырехугольников

  • equilic четырехугольника есть две противоположных равных стороны, которые, когда расширено, встречаются в 60 °.
  • Четырехугольник Ватта — четырехугольник с парой противоположных сторон равной длины.
  • Относящийся ко второму порядку четырехугольник — выпуклый четырехугольник, четыре вершины которого все лежат на периметре квадрата.
  • Геометрический шеврон (стрелка или стрелка) является вогнутым четырехугольником с двусторонней симметрией как бумажный змей, но один внутренний угол — отражение.
  • Самопересекающийся четырехугольник называют по-разному поперечным четырехугольником, пересеченным четырехугольником, четырехугольником бабочки или четырехугольником галстука-бабочки. Особый случай пересеченных четырехугольников — антипараллелограмы, пересеченные четырехугольники, в которых (как параллелограм) у каждой пары несмежных сторон есть равная длина. Диагонали пересеченного или вогнутого четырехугольника не пересекаются в форме.
  • Неплоский четырехугольник называют искажать четырехугольником. Формулы, чтобы вычислить его образуемые двумя пересекающимися плоскостями углы из длин края и угол между двумя смежными краями были получены для работы над свойствами молекул, такими как cyclobutane, которые содержат «морщившее» кольцо четырех атомов. Посмотрите искажают многоугольник для больше. Исторически термин неловкий четырехугольник был также использован, чтобы означать искажать четырехугольник. Искажать четырехугольник вместе с его диагоналями формируется (возможно нерегулярный), четырехгранник, и с другой стороны каждый искажать четырехугольник прибывают из четырехгранника, куда пара противоположных краев удалена.

Определение

Обобщённый четырёхугольник — это структура инцидентности (P,B, I), где I⊆P×B{\displaystyle \mathrm {I} \subseteq P\times B} — отношение инцидентности, удовлетворяющее определённым аксиомам. Элементы P по определению являются вершинами (точками) обобщённого четырёхугольника, элементы Bпрямыми. Аксиомы следующие:

  • Существует число s (s ≥ 1), такое, что на любой прямой имеется в точности s + 1 точек. Существует максимум одна точка на двух различных прямых.
  • Существует число t (t ≥ 1), такое, что через любую точку проходит в точности t + 1 прямых. Существует максимум одна прямая через две различные точки.
  • Для любой точки p, не лежащей на прямой L, существует единственная прямая M и единственная точка q, такие, что p лежит на M, а q лежит на M и L.

Пара чисел (s,t) является параметрами обобщённого четырёхугольника. Параметры могут быть бесконечными. Если либо число s, либо t равно единице, обобщённый четырёхугольник называется тривиальным. Например, решётка 3×3 с P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} и B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} является тривиальным обобщённым четырёхугольником с s = 2 и t = 1. Обобщённый четырёхугольник с параметрами (s,t) часто обозначается как GQ(s,t) (от английского Generalized Quadrangle).

Наименьший нетривиальный обобщённый четырёхугольник — GQ(2,2), представление которого в 1973 Стэн Пейн назвал «салфеткой».

Четырёхугольники Брахмагупты

Четырёхугольник Брахмагупты — это вписанный четырёхугольник с целочисленными длинами сторон, целочисленными длинами диагоналей и целочисленной площадью.
Все четырёхугольники Брахмагупты со сторонами a, b, c, d, диагоналями e, f, площадью K, и радиусом описанной окружности R можно получить путём избавления от знаменателя в следующих выражениях (при рациональных параметрах t, u и v):

a=t(u+v)+(1−uv)u+v−t(1−uv){\displaystyle a=}
b=(1+u2)(v−t)(1+tv){\displaystyle b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)}
c=t(1+u2)(1+v2){\displaystyle c=t(1+u^{2})(1+v^{2})}
d=(1+v2)(u−t)(1+tu){\displaystyle d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)}
e=u(1+t2)(1+v2){\displaystyle e=u(1+t^{2})(1+v^{2})}
f=v(1+t2)(1+u2){\displaystyle f=v(1+t^{2})(1+u^{2})}
K=uv2t(1−uv)−(u+v)(1−t2)2(u+v)t+(1−uv)(1−t2){\displaystyle K=uv}
4R=(1+u2)(1+v2)(1+t2).{\displaystyle 4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).}

Внешние ссылки

  • Энциклопедия Quadri-иллюстраций Криса Ван Тинховена
  • Геометрия резюме аналитическая геометрия четырехугольников
  • Четырехугольники, Сформированные Перпендикулярными Средними линиями, Проективной Коллинеарностью и Интерактивной Классификацией Четырехугольников от сокращения узла
  • Определения и примеры четырехугольников и Определение и свойства четырехугольников от Mathopenref
  • (Динамическое) иерархическое четырехстороннее дерево в динамических эскизах геометрии
  • Расширенная классификация четырехугольников в Динамической Математической Домашней странице Изучения
  • Четырехугольник, который Четырехугольники Диаграммы Venn выразили в форме диаграммы Venn, где области — также форма четырехугольника, они описывают.
  • Роль и функция иерархической классификации четырехугольников Майклом де Вильерсом
admin
Оцените автора
( Пока оценок нет )
Добавить комментарий