Синус от арккосинуса, тангенс от арксинуса и иже с ними
На практике очень полезными оказываются формулы, устанавливающие отношения между тригонометрическими функциями и аркфункциями. К примеру, может потребоваться вычислить синус арккосинуса некоторого числа, или тангенс арксинуса. Запишем список формул, позволяющих решать подобные задачи, дальше покажем примеры их применения и приведем доказательства этих формул.
Приведем несколько примеров использования записанных формул. Например, вычислим косинус арктангенса корня из пяти. Соответствующая формула имеет вид , таким образом .
Другой пример: используя формулу синуса арккосинуса вида , мы можем вычислить, к примеру, синус арккосинуса одной второй, имеем . Заметим, что в этом примере вычисления можно провести и непосредственно, они приводят к тому же результату: (при необходимости смотрите статьи вычисление значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса и вычисление значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса).
Осталось показать вывод записанных формул.
Формулы, находящиеся в ячейках таблицы на диагонали, есть формулы синуса арксинуса, косинуса арккосинуса и т.д. Они были получены ранее, поэтому не нуждаются в доказательстве, и их мы будем использовать для доказательства остальных формул. Более того, для вывода формул нам еще потребуются основные тригонометрические тождества.
Выведем сначала формулу синуса арккосинуса, синуса арктангенса и синуса арккотангенса. Из основных тригонометрических тождеств и , а также учитывая, что , легко получить следующие формулы , и , выражающие синус через косинус, синус через тангенс и синус через котангенс при указанных условиях. Подставляя arccos a вместо альфа в первую формулу, получаем формулу синуса арккосинуса; подставляя arctg a вместо альфа во вторую формулу, получаем формулу синуса арктангенса; подставляя arcctg a вместо альфа в третью формулу, получаем формулу синуса арктангенса.
Вот краткая запись вышеперечисленных выкладок:
- так как , то ;
- так как , то ;
- так как , то .
По аналогии легко вывести формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса:
- так как , то ;
- так как , то ;
- так как , то .
Теперь покажем вывод формул тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арккотангенса:
- так как , то при ;
- так как , то при ;
- так как , то при .
Формулы котангенса арксинуса, котангенса арккосинуса и котангенса арктангенса легко получить из формул тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса, поменяв в них числитель и знаменатель, так как .
Обратные тригонометрические функции – аркфункции
Отталкиваясь от первых определений, данных в начале этой статьи, мы можем утверждать, что каждому числу a∈ соответствуют вполне определенные углы arcsin a и arccos a, а каждому действительному числу a – углы arctg a и arcctg a. Это позволяет на арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс смотреть как на функции, ставящие в соответствие каждому числовому значению своего аргумента конкретный угол – значение функции.
Если же на арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа a смотреть как на числа (см. четыре последних определения), то можно говорить о числовых функциях арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они каждому значению аргумента a ставят в соответствие уже не угол, а число.
Функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс называют обратными тригонометрическими функциями. Это название объяснимо: функция y=arcsin x является обратной к функции y=sin x, x∈[−π/2, π/2], функция y=arcos x обратная к функции y=cos x, x∈, функция y=arctg x является обратной к функции y=tg x, x∈(−π/2, π/2), наконец, функция y=arcctg x обратная к функции y=ctg x, x∈(0, π). Их же называют аркфункциями.
Список литературы.
- Алгебра и элементарные функции: Учебное пособие для учащихся 9 класса средней школы / Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова; Под редакцией доктора физико-математических наук О. Н. Головина.- 4-е изд. М.: Просвещение, 1969.
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 4-е изд., доп. — М.: Мнемозина, 2007. — 424 с.: ил. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни /; под ред. А. Б. Жижченко. — 3-е изд. — И.: Просвещение, 2010.- 368 с.: ил.- ISBN 978-5-09-022771-1.
Некогда разбираться?
Разложение в ряды
- arcsinx=x+x36+3×540+⋯ =∑n=∞(2n)!4n(n!)2(2n+1)x2n+1{\displaystyle \displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}} для всех |x|≤1{\displaystyle \left|x\right|\leq 1}
- arccosx=π2−arcsinx=π2−∑n=∞(2n)!4n(n!)2(2n+1)x2n+1{\displaystyle \displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}} для всех |x|≤1{\displaystyle \left|x\right|\leq 1}
- arctg x=x−x33+x55−⋯ =∑n=1∞(−1)n−12n−1x2n−1{\displaystyle \displaystyle \operatorname {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}} для всех |x|≤1{\displaystyle \left|x\right|\leq 1}
Арксинус и арккосинус − теория, примеры и решения
Функция арксинус и ее график
Как известно, функция синус определена в интервале и не является монотонной функцией (т.е. не является возрастающей или убывающей во всей области определения функции (Рис.1) (подробнее о функции синус смотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.
Однако, функцию синус можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:
По теореме об обратной функции, на каждом из указанных отрезков функция sin x имеет обратную функцию. Отметим, что это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке . Обратную функцию обозначают x=arcsin y. Поменяв местами x и y, получим:
Функция (1) − это функция, обратная к функции
График функции арксинус можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.2).
Свойства функции арксинус.
- Область определения функции: .
- Область значений функции: .
- Функция является нечетной: .
- Функция возрастает.
- Функция непрерывна.
Решим тригонометрическое уравнение
При |a|>1 это уравнение не имеет решения, т.к. не существует такое число x, при котором sin x>1 (см. график функции синус (Рис.1). При |a|≤1, в отрезке (дуга DAB) уравнение (2) имеет одно решение (см. Рис.3):
В отрезке (дуга DCB) функция синус убывает и принимает значения от 1 до −1. Следовательно в этом отрезке уравнение (2) также имеет решение:
Действительно:
А из
следует
т.е.
Таким образом уравнение (3) имеет два решения в отрезке :
которые совпадают при |a|=1.
Поскольку функция синус периодичная с основным периодом 2π, имеем
Тогда получим решение (2) в виде
Решения (3) и (4) удобно представить одним уравнением:
Действительно. При четных k (k=2n) из уравнения (5) получают все решения, представленные уравнением (3), а при нечетных k (k=2n+1) − все решения, представленные уравнением (4).
При a=1, arcsin a и π−arcsin a совпадают (т.к. ), следовательно решение уравнения sin t=1 имеет вид:
При |a|=−1, из (3) и (4) следует:
Но поворот эквивалентно повороту . То есть уравнения (6) и (7) эквивалентны. Тогда решение уравнения sin t=−1 запишем в виде:
При |a|=0, из (3) и (4) имеем следующее решение уравнения sin t=0:
Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:
Решение. Воспользуемся формулой (5):
т.е.
Пример 2. Решить тригонометрическое уравнение:
Решение. Воспользуемся формулой (5):
т.е.
Функция арккосинус и ее график
Как известно, функция косинус определена в интервале и не является монотонной функцией (Рис.4) (подробнее о функции косинус смотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.
Однако, функцию косинус можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:
По теореме об обратной функции, на каждом из указанных отрезков функция cos x имеет обратную функцию. Это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке . Обратную функцию оброзначают x=arccos y. Поменяв местами x и y, получим:
Функция (8) − это функция, обратная к функции
График функции арксинус можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.5).
Свойства функции арксинус.
- Область определения функции: .
- Область значений функции: .
- Функция не является ни четной ни нечетной (так как функция не симметрична ни относительно начала координит, ни относительно оси Y).
- Функция убывает.
- Функция непрерывна.
Решим тригонометрическое уравнение
При |a|>1 это уравнение не имеет решения, т.к. не существует такое число x, при котором cos x>1 (см. график функции косинус (Рис.4). При |a|≤1, в отрезке [0; π] (дуга ABC) уравнение (9) имеет одно решение t1=arccos a. В отрезке [−π; 0] (дуга CDA) уравнение (9) имеет одно решение t2=−arccos a(см. Рис.6):
Таким образом, в интервале [−π; π] уравнение (9) имеет два решения y=± arccos a, которые совпадают при a=1.
Поскольку функция косинус периодичная с основным периодом 2π:
то общее решение (9) имеет следующий вид:
При a=1, числа arccos a и −arccos a совпадают (они равны нулю), тогда решение уравнения cos t=1 можно записать так:
При a=−1, имеем cos t=−1,
При a=0, имеем cos t=0,
Решение тригонометрического уравнения cos t=0 можно записать одним уравнением:
Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:
Решение. Воcпользуемся формулой (10):
Так как , то
Пример 2. Решить следующее тригонометрическое уравнение:
Решение. Используя формулу (10), имеем
Так как (), то
Пример 3. Решить следующее тригонометрическое уравнение:
Решение. Используя формулу (10), имеем
С помощью онлайн калькулятора вычисляем : . Тогда решение можно записать так: